Question

如圖1，在平面直角坐標系中，點A、C分別在y軸和x軸上，AB∥x軸，sinC=

4

5

，點P從O點出發(fā)，沿邊OA、OB、BC勻速運動，點Q從點C出發(fā)，以1cm/s的速度沿邊CO勻速運動．點P與點Q同時出發(fā)，其中一點到達終點，另一點也隨之停止運動．設點P運動的時間為t（s），△CPQ的面積為S（cm²），已知S與t之間的函數(shù)關系如圖2中曲線段OE，線段EF與曲線段FG給出．
（1）點P的運動速度為

 

cm/s，點B、C的坐標分別為

 

，

 

；
（2）求曲線FG段的函數(shù)解析式；
（3）在邊BC上是否存在點P，使得△CPQ的面積是四邊形OABC的面積的

4

13

？如存在，求出此時t的值；如不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題,動點問題的函數(shù)圖象

專題：

分析：（1）由當2秒時，CQ=2，此時△BPQ的面積為4cm²，得出AO的長，即可求出點Q的運動速度，當運動到4.5秒時，求出點B的坐標，由三角函數(shù)求出點C的坐標，
（2）由CQ=t，求出CP，PM的長，利用三角形面積公式寫出曲線FG段的函數(shù)解析式．
（3）先求出四邊形OABC的面積的

4

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，再運用（2）中的解析式求出t即可．

解答：解：（1）如圖1，作BD⊥OC交OC于點D，

由題意可得出：當2秒時，△BPQ的面積的函數(shù)關系式改變，則P在AO上運動2秒，
當2秒時，CQ=2，此時△BPQ的面積為4cm²，
∴

1

2

×2×A0=4，
∴AO為4cm，
∴點Q的運動速度為：4÷2=2（cm/s），
當運動到4.5秒時，函數(shù)關系式改變，則AB=（4.5-2）×2=5cm，
∴B（5，4），
∵sinC=

4

5

，
∴可求出BC=5cm，
∴CD=3，
∴OC=5+3=8cm
∴C（8，0）
故答案為：2，（5，4），（8，0）；
（2）如圖2，作PM⊥OC交OC于點M，

∵CQ=t，CP=14-2t，
∴PM=PC×sinC=（14-2t）×

4

5

，
∴S_△CPQ=

1

2

CQ•PM=

1

2

t•

4

5

×（14-2t），
∴S=-

4

5

t²+

28

5

t．（4.5≤t≤7）
（3）存在．
四邊形OABC的面積=

1

2

（AB+OC）×AO=

1

2

（5+8）×4=26，
∵FG段的函數(shù)解析式為S=-

4

5

t²+

28

5

t，
∴-

4

5

t²+

28

5

t=26×

4

13

解得t=5或t=2（舍去），
∴t=5時△CPQ的面積是四邊形OABC的面積的

4

13

．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)綜合題及動點問題的函數(shù)圖象，解題的關鍵是要理清圖象的含義，不同時間段三角形面積公式不同．