Question

（本題滿分10分）已知：如圖，△ABC中，AD⊥BC，AB=AE，點E在AC的垂直平分線上.

（1）請問：AB、BD、DC有何數量關系？并說明理由.

（2）如果∠B=60°，證明：CD=3BD.

 

Answer 1

（1）AB+BD=CD；理由見試題解析；（2）證明見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）由AD⊥BC，BD=DE，點E在AC的垂直平分線上，根據線段垂直平分線的性質，可得AE=EC，AB=AE，繼而證得AB+BD=AE+DE=DC．

（2）易得△ABE是等邊三角形，則可得△ABC是直角三角形，且∠BAD=∠C=30°，然后由含30°角的直角三角形的性質，證得結論．

試題解析：（1）AB+BD=DC．理由如下：

∵AD⊥BC，BD=DE，∴AB=AE，BD=DE，

∵點E在AC的垂直平分線上，∴AE=CE，∴AB+BD=AE+DE=DC．

（2）∵AB=AE，∠B=60°，∴△ABE是等邊三角形，∴∠AEB=∠B=∠BAE=60°，

∵AE=EC，∴∠C=∠CAE=∠AEB=30°，∴∠BAC=90°，∠BAD=30°，

在Rt△ABC中，BC=2AB，在Rt△AABD中，AB=2BD，

∴BC=4BD，∴DC=3BD．

考點：1．線段垂直平分線的性質；2．等腰三角形的判定與性質．