Question

已知：△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D．
（1）如圖（1），若點M在線段AD上（點M不與點A重合），則∠AMB

=

∠AMC（請?zhí)睿荆?或＜）；
（2）如圖2，若點M在線段BD上（點M不與點B，D重合），點N在線段CD上且ND=MD，則∠AMB

=

∠ANC，∠AMC

＜

∠ANC（請?zhí)睿荆?或＜）；
（3）如圖3，若點M在△ABD的內(nèi)部，是比較∠AMB與∠AMC的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得∠BAM=∠CAM，然后證明△ABM與△ACM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等即可證明；
（2）利用邊角邊證明△ADM與△ADN全等，然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等得到∠AMD=∠AND，再根據(jù)等角的補角相等即可得證；根據(jù)三角形的銳角小于相鄰的外角解答；
（3）先找出點M關(guān)于AD的對稱點N，然后連接AN，MN，CN，延長CN交AM于點P，根據(jù)對稱性可得△ABM與△ACN全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等得到∠1=∠2，再根據(jù)三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何以一個內(nèi)角即可推出．

解答：解：（1）∵AB=AC，AD⊥BC于D，
∴∠BAM=∠CAM（等腰三角形三線合一），
在△ABM與△ACM中，

AB=AC ∠BAM=∠CAM AM=AM

，
∴△ABM≌△ACM（SAS），
∴∠AMB=∠AMC；

（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADM=∠ADN=90°，
在△ADM與△ADN中，

ND=MD ∠ADM=∠ADN=90° AD=AD

，
∴△ADM≌△ADN（SAS），
∴∠AMD=∠AND，
∴180°-∠AMD=180°-∠AND，
即∠AMB=∠ANC，
在Rt△ADN中，∠AND是銳角，
∴∠AND＜∠ANC，
∴∠AMC＜∠ANC；

（3）如圖，作點M關(guān)于AD的對稱點N，連接AN，CN，延長CN交AM于點P，
∵AB=AC，AD⊥BC于D，
∴AD垂直平分BC，
∴點B、C關(guān)于AD所在的直線對稱，
∴△ABM≌△ACN，
∴∠1=∠2，
∵∠2是△APN的外角，
∴∠2＞∠3，
∵∠3是△PMC的外角，
∴∠3＞∠PMC，
∴∠1＞∠PMC，
即∠AMB＞∠AMC．
故答案為：（1）=；（2）=，＜；（3）∠AMB＞∠AMC．

點評：本題主要考查了三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何以一個內(nèi)角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．