Question

（9分）請(qǐng)閱讀材料：

（1）如圖1，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=2，PB=，PC=1．求∠BPC的度數(shù)和等邊三角形ABC的邊長(zhǎng).

李明同學(xué)的思路是：將△BPC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖2）．連接PP′.根據(jù)李明同學(xué)的思路，進(jìn)一步思考后可求得∠BPC=_____°，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為_(kāi)____.

（2）請(qǐng)你參考李明同學(xué)的思路，探究并解決下列問(wèn)題：如圖3，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC的度數(shù)和正方形ABCD的邊長(zhǎng)．

 

Answer 1

（1）150，；（2）135°，．

【解析】

試題分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出AP′=CP=1，BP′=BP=，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC，求出∠ABP′+∠ABP=60°，得到等邊△BPP′，推出PP′=，∠BP′P=60°，求出∠AP′P=90°即可求出∠BPC；過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AP′，交AP′的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，由∠MP′B=30°，求出BM=，P′M=，根據(jù)勾股定理即可求出答案；

（2）求出∠BEP=（180°﹣90°）=45°，根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠AP′P=90°，推出∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°；過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AE，交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求出FE=BF=1，AF=2，關(guān)鍵勾股定理即可求出AB．

試題解析：（1）∵等邊△ABC，∴∠ABC=60°，

將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得出△ABP′，

∴AP′=CP=1，BP′=BP=，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC，

∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，∴∠ABP′+∠ABP=∠ABC=60°，∴△BPP′是等邊三角形，

∴PP′=，∠BP′P=60°，

∵AP′=1，AP=2，∴，∴∠AP′P=90°，∴∠BPC=∠AP′B=90°+60°=150°，

過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AP′，交AP′的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，∴∠MP′B=30°，BM=，

由勾股定理得：P′M=，∴AM=，由勾股定理得：AB=，

故答案為：150°，．

（2）將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AEB，

與（1）類似：可得：AE=PC=1，BE=BP=，∠BPC=∠AEB，∠ABE=∠PBC，

∴∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°，∴∠BEP=(180°﹣90°)=45°，

由勾股定理得：EP=2，

∵AE=1，AP=，EP=2，∴，∴∠AEP=90°，∴∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°，

過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AE，交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F；∴∠FEB=45°，∴FE=BF=1，∴AF=2；

∴在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB=；∴∠BPC=135°，正方形邊長(zhǎng)為．

答：∠BPC的度數(shù)是135°，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是．

考點(diǎn)：1．等腰三角形的性質(zhì)；2．等邊三角形的判定與性質(zhì)；3．含30度角的直角三角形；4．正方形的性質(zhì)．