Question

2．如圖，Rt△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB、BC、CA分別相切于點D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，點P在射線AC上運動，過點P作PH⊥AB，垂足為H．
（1）直接寫出線段AD及⊙O半徑的長；
（2）設(shè)PH=x，PC=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)PH與⊙O相切時，求相應(yīng)的y值．

Answer 1

分析 （1）三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)即可；
（2）先判斷出∠C=∠PHA=90°，進而得出，△AHP∽△ACB，得出的比例式建立方程即可；
（3）分當(dāng)點P在線段AC上時和當(dāng)點P在AC的延長線上時兩種情況討論計算．

解答 解：（1）⊙O的半徑r=$\frac{1}{2}$（AC+BC-AB）=$\frac{1}{2}$（4+3-5）=1；
∴AD=3
（2）①如圖1，若點P在線段AC上時．
在Rt△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，
∵∠C=90°，PH⊥AB，
∴∠C=∠PHA=90°，
∵∠A=∠A，
∴△PAH∽△BAC，
∴$\frac{PH}{BC}=\frac{AP}{AB}=\frac{AC-PC}{AB}$
∴y=-$\frac{5}{3}$x+4，
即y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=-$\frac{5}{3}$x+4（0≤x≤2.4）；
②同理，當(dāng)點P在線段AC的延長線上時，△AHP∽△ACB，
$\frac{x}{3}=\frac{4+y}{5}$∴y=$\frac{5}{3}$x-4，即y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=$\frac{5}{3}$x-4（x＞2.4），
（3）①當(dāng)點P在線段AC上時，如圖2，P′H′與⊙O相切．
∵∠OMH′=∠MH′D=∠H′DO=90°，OM=OD，
∴四邊形OMH′D是正方形，
∴MH′=OM=1；
由（1）知，四邊形CFOE是正方形，
CF=OF=1，
∴P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C，即x=y；
又由（2）知，y=-$\frac{5}{3}$x+4，解得，y=$\frac{3}{2}$．
②當(dāng)點P在AC的延長線上時，如圖，P″H″與⊙O相切．此時y=1．

點評 此題是圓的綜合題，主要考查了圓的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是判斷出，△AHP∽△ACB．