Question

已知雙曲線y=（k＞0），過點M（m，m）（m＞）作MA⊥x軸，MB⊥y軸，垂足分別是A和B，MA、MB分別交雙曲線y=（k＞0）于點E、F．
（1）若k=2，m=3，求直線EF的解析式；
（2）O為坐標(biāo)原點，連接OF，若∠BOF=22.5°，多邊形BOAEF的面積是2，求k值．

Answer 1

解：（1）將k=2，m=3代入得：反比例解析式為y=，M（3，3），
∵M(jìn)A⊥x軸，MB⊥y軸，
∴E的橫坐標(biāo)為3，F(xiàn)縱坐標(biāo)為3，
代入反比例解析式得：E（3，），F(xiàn)（，3），
設(shè)直線EF解析式為y=kx+b，
將E與F坐標(biāo)代入得：，
解得：，
則直線EF解析式為y=-x+；
（2）連接OM，EF，OE，OM與EF交于點C，
∵M(jìn)（m，m），反比例解析式為y=，
∴E（m，），F(xiàn)（，m），即E與F關(guān)于y=x對稱，四邊形AOBM為正方形，
∵∠BOF=22.5°，
∴∠BOF=∠COF=∠EOC=∠AOE=22.5°，
由對稱性得到∠FCO=∠ECO=90°，
在△BOF和△AOE中，
，
∴△BOF≌△AOE（ASA），
同理△BOF≌△COF，△COF≌△AOE，
∴BF=AE=，
又BM=AM=m，
∴S_△BOF=m•=k，
∴S_{五邊形BOAEF}=4S_△BOF=2k=2，
則k=1．
分析：（1）將k的值代入確定出反比例解析式，將m的值代入確定出M坐標(biāo)，根據(jù)圖形得到E的橫坐標(biāo)與F的縱坐標(biāo)都為3，代入反比例解析式中確定出E與F坐標(biāo)，設(shè)直線EF解析式為y=kx+b，將E與F坐標(biāo)代入求出k與b的值，即可確定出直線EF的解析式；
（2）連接EF，OM，OE，由M橫縱坐標(biāo)相等得到四邊形AOBM為正方形，由正方形的性質(zhì)及∠BOF=22.5°，得到三角形BOF、三角形FCO、三角形ECO及三角形AOE全等，三角形BOF的面積等于|k|的一半，表示出四個面積之和，即為五邊形BOAEF的面積，根據(jù)五邊形的面積為2列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．
點評：此題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)k的幾何意義，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，靈活運用待定系數(shù)法是解本題第一問的關(guān)鍵．