Question

9．我們知道，求圓環(huán)的面積可以轉(zhuǎn)化為求大圓與小圓面積的差．
（1）如圖①，直線l與小圓相切于點P，與大圓相交于點A，B．
①求證：AP=BP；
②若AB=10，求圓環(huán)的面積；
（2）如圖②，直線l與大圓、小圓分別交于點A，B，C，D，若AB=10，AC=2，則圓環(huán)的面積為16π．

Answer 1

分析 （1）①連結(jié)OP，如圖①，先根據(jù)切線的性質(zhì)得OP⊥AB，然后根據(jù)垂徑定理即可得到AP=BP；
②連結(jié)OA，如圖①，AP=BP=$\frac{1}{2}$AB=5，根據(jù)勾股定理得到OA²-OP²=AP²=25，然后根據(jù)圓的面積公式，利用圓環(huán)的面積=S_大圓-S_小圓進(jìn)行計算；
（2）作OE⊥CD于E，如圖②，根據(jù)垂徑定理得到AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=5，則CE=AE-AC=3，再利用勾股定理得OA²=OE²+AE²，OC²=OE²+CE²，然后根據(jù)圓的面積公式，利用圓環(huán)的面積=S_大圓-S_小圓進(jìn)行計算．

解答 （1）①證明：連結(jié)OP，如圖①，
∵直線l與小圓相切于點P，
∴OP⊥AB，
∴AP=BP；
②解：連結(jié)OA，如圖①，AP=BP=$\frac{1}{2}$AB=5，
在Rt△OPA中，OA²-OP²=AP²=25，
∴圓環(huán)的面積=S_大圓-S_小圓=π•OA²-π•OP²=π（OA²-OP²）=25π；
（2）解：作OE⊥CD于E，如圖②，
∵AB=10，AC=2，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴CE=AE-AC=5-2=3，
∵OA²=OE²+AE²，OC²=OE²+CE²，
∴圓環(huán)的面積=S_大圓-S_小圓=π•OA²-π•OC²=π（AE²-CE²）=（25-9）π=16π．
故答案為16π．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．運用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了垂徑定理．