Question

5．已知：如圖，?ABCD中，O是CD的中點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：△AOD≌△EOC；
（2）連接AC，DE，當(dāng)∠B=45°和∠AEB=45°時(shí)，四邊形ACED是正方形？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)O是CD的中點(diǎn)，可得DO=CO，再證明∠D=∠OCE，然后可利用ASA定理證明△AOD≌△EOC；
（2）當(dāng)∠B=45°和∠AEB=45°時(shí)，四邊形ACED是正方形；首先證明∠BAE=90°，然后證明AC是BE邊上的中線，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得AC=CE，然后利用等腰三角形的性質(zhì)證明AC⊥BE，可得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵O是CD的中點(diǎn)，
∴DO=CO，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠D=∠OCE，
在△ADO和△ECO中$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠OCE}\\{DO=CO}\\{∠AOD=∠COE}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△EOC（ASA）；

（2）解：當(dāng)∠B=45°和∠AEB=45°時(shí)，四邊形ACED是正方形，
∵∠B=45°和∠AEB=45°，
∴∠BAE=90°，
∵△AOD≌△EOC，
∴AO=EO，
∵DO=CO，
∴四邊形ACED是平行四邊形，
∴AD=CE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，
∴BC=CE，
∵∠BAE=90°，
∴AC=CE，
∴平行四邊形ACED是菱形，
∵∠B=∠AEB，BC=CE，
∴AC⊥BE，
∴四邊形ACED是正方形．
故答案為：45，45．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及正方形的判定，關(guān)鍵是掌握鄰邊相等的矩形是正方形．