Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²-2mx-3m²+8m-4=0．
（1）求證：當(dāng)m＞2時(shí)，原方程永遠(yuǎn)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根一個(gè)小于5，另一個(gè)大于2，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）判斷方程的根的情況，只要看根的判別式△=b²-4ac的值的符號(hào)就可以了．
（2）先求出原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，根據(jù)兩個(gè)實(shí)數(shù)根一個(gè)小于5，另一個(gè)大于2，列出不等式組，求出m的取值范圍．

解答：解：（1）△=（-2m）²-4（-3m²+8m-4）=4m²+12m²-32m+16=16（m-1）²．（1分）
∵無(wú)論m取任何實(shí)數(shù)，都有16（m-l）²≥0，
∴m取任意實(shí)數(shù)時(shí)，原方程都有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（2分）
自然，當(dāng)m＞2時(shí)，原方程也永遠(yuǎn)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（3分）

（2）解關(guān)于x的一元二次方程x²-2mx-3m²+8m-4=0，得
x=

2m± 16(m-1)2

2

=m±2（m-1）
∴x₁=3m-2，x₂=2-m．（4分）
解已知不等式組

3m-2＜5 2-m＞2

或

2-m＜5 3m-2＞2

，（6分）
得m＜0或m＞

4

3

．
即m的取值范圍是m＜0或m＞

4

3

．（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次方程根的判別式，當(dāng)△≥0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；同時(shí)考查了公式法解一元二次方程及解一元一次不等式組．