Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC=15，cos∠A=．點M在AB邊上，AM=2MB，點P是邊AC上的一個動點，設PA=x．
（1）求底邊BC的長；
（2）若點O是BC的中點，聯接MP、MO、OP，設四邊形AMOP的面積是y，求y關于x的函數關系式，并出寫出x的取值范圍；
（3）把△MPA沿著直線MP翻折后得到△MPN，是否可能使△MPN的一條邊（折痕邊PM除外）與AC垂直？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）作BH⊥AC于點H，求出AH=12，BH=9，求出CH，根據勾股定理得出BC²=BH²+CH²，求出即可；
（2）作OE⊥AB于點E，OF⊥AC于點F，求出OE=OF=BH=，求出PC=15-x，根據y=S_△ABC-S_△BOM-S_△COP和三角形面積公式求出即可；
（3）①當PN⊥AC時，作MG⊥AC于點G，求出AG=8，MG=6，①若點P₁在AG上，由折疊知∠AP₁M=135°，求出P₁G=MG=6，代入AP₁=AG-P₁G求出即可；②若點P₂在CG上，由折疊知∠AP₂M=45°，求出P₂G=MG=6，代入AP₂=AG+P₂G求出即可；③當MN⊥AC時，
由折疊知∠AMP₃=∠NMP₃，求出P₃G=8-x，GN₃=4，根據P₃N₃²=P₃G²+GN₃²得出x²=（8-x）²+4²，求出即可．
解答：解：
（1）作BH⊥AC于點H，如圖1，
∵在Rt△ABH中，cos∠A=，AB=15，
∴AH=12，
∴BH=9，
∵AC=15，
∴CH=3，
∵BC²=BH²+CH²，
∴BC²=9²+3²=90，
∴BC=3．

（2）作OE⊥AB于點E，OF⊥AC于點F，如圖2，
∵點O是BC的中點，
∴OE=OF=BH=，
∵AM=2MB，AB=AC=15，
∴AM=10，BM=5，
∵PA=x，
∴PC=15-x，
∴y=S_△ABC-S_△BOM-S_△COP
=BH•AC-OE•BM-OF•PC
=×9×15-××5-××（15-x）
即y=x+．定義域是0＜x≤15．

（3）①當PN⊥AC時，如圖2，作MG⊥AC于點G，
∵在Rt△AMG中，cos∠A=，AM=10，
∴AG=8，
∴MG=6，
①若點P₁在AG上，由折疊知：∠AP₁M=135°，
∴∠MP₁G=45°，
∵MG⊥AC，
∴P₁G=MG=6，
∴AP₁=AG-P₁G=2．
②若點P₂在CG上，由折疊知：∠AP₂M=45°，
∵MG⊥AC，
∴P₂G=MG=6，
∴AP₂=AG+P₂G=14．
③當MN⊥AC時，如圖3，
由折疊知：∠AMP₃=∠NMP₃，P₃N₃=AP₃=x，MN₃=MA=10，
∴P₃G=8-x，GN₃=4，
∵P₃N₃²=P₃G²+GN₃²，
∴x²=（8-x）²+4²，
∴x=5，
綜上所述，x=2或5或14時滿足△MPN的一條邊與AC垂直．
點評：本題考查了折疊性質，勾股定理，解直角三角形等知識點的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力，題目比較好，難度偏大．