Question

已知：在△ACB中∠ACB=90°，CD⊥AB于D，點E在AC上，BE交CD于點G，EF⊥BE交AB于點F，

（1）如圖1，AC=BC，點E為AC的中點，求證：EF=EG；
（2）如圖2，BE平分∠CBE，AC=2BC，試探究線段EF與EG的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)全等三角形的證明方法利用ASA得出△EFM≌△EGN，即可得出EF=EG；
（2）根據(jù)已知首先求出∠ENG=∠FEM，再得出∠ENG=∠EMF，即可得出△EFM∽△EGN，再利用相似三角形的性質(zhì)得出答案即可．

解答：證明：（1）如答圖1，過E作EM⊥AB于M，EN⊥CD于N，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠ABC=45°，
∴AD=CD，
∵點E為AC的中點，CD⊥AB，EN⊥DC，
∴EN=

1

2

AD，
∴EM=

1

2

CD，
∴EN=EM，
∵∠FEB=90°，∠MEN=90°，
∴∠NEG=∠FEM，
∴

∠NEG=∠FEM EN=EM ∠ENG=∠EMF

，
∴△EFM≌△EGN，（ASA）
則EF=EG

（2）如答圖2，過E作EM⊥AB于M，EN⊥CD于N，
∵∠FEM+∠MEB=90°，∠NEG+∠BEM=90°，
∴∠ENG=∠FEM，
∵∠ENG=∠EMF，
∴△EFM∽△EGN，
則

EG

EF

=

EN

EM

，
又∵BE平分∠ABC，∴CE=EM
∴

EG

EF

=

EN

CE

，
可證

AC

AB

=

EN

CE

=

2 5

5

，
∴

EF

EG

=

5

2

．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，靈活的應(yīng)用其性質(zhì)得出三角形角邊關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．