Question

如圖，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，BC=6cm，直線CM⊥BC，動點D從點C開始沿射線CB方向以每秒2厘米的速度運動，動點E也同時從點C開始在直線CM上以每秒1厘米的速度運動，連接AD、AE，設(shè)運動時間為t秒．
（1）求AB的長；
（2）當(dāng)t為多少時，△ABD的面積為6cm²？
（3）當(dāng)t為多少時，△ABD≌△ACE，并簡要說明理由．（可在備用圖中畫出具體圖形）

Answer 1

分析：（1）運用勾股定理直接求出；
（2）首先求出△ABD中BD邊上的高，然后根據(jù)面積公式列出方程，求出BD的值，分兩種情況分別求出t的值；
（3）假設(shè)△ABD≌△ACE，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得出BD=CE，分別用含t的代數(shù)式表示CE和BD，得到關(guān)于t的方程，從而求出t的值．

解答：解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴2AB²=BC²，
∴AB=

BC

2

=3

2

cm；

（2）過A作AF⊥BC交BC于點F，則AF=

1

2

BC=3cm，
∵S_△ABD=6cm²，
∴AF×BD=12，
∴BD=4cm．
若D在B點右側(cè)，則CD=2cm，t=1s；
若D在B點左側(cè)，則CD=10cm，t=5s．

（3）動點E從點C沿射線CM方向運動2秒或當(dāng)動點E從點C沿射線CM的反向延長線方向運動6秒時，△ABD≌△ACE．
理由如下：（說理過程簡要說明即可）
①當(dāng)E在射線CM上時，D必在CB上，則需BD=CE．
∵CE=t，BD=6-2t∴t=6-2t∴t=2（1分）
證明：∵AB=AC，∠B=∠ACE=45°，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE．（1分）
②當(dāng)E在CM的反向延長線上時，D必在CB延長線上，則需BD=CE．
∵CE=t，BD=2t-6∴t=2t-6∴t=6（1分）
證明：∵AB=AC，∠ABD=∠ACE=135°，BD=CE
∴△ABD≌△ACE．（1分）

點評：本題考查了等腰直角三角形、全等三角形的性質(zhì)及面積，綜合性強，題目難度適中．