Question

如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=6，BC=8，點(diǎn)P從A出發(fā)在線段AD上以1個(gè)單位/秒向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）設(shè)△APQ的面積為S，點(diǎn)P的運(yùn)行時(shí)間為t，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍．
（2）S的最大值是多少？
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）利用sin∠ACB=

3

5

，得出sin∠PAQ=

3

5

，即可得出QM=AQsin∠PAQ=

3

5

（10-t），進(jìn)而表示出△APQ的面積為S；
（2）利用二次函數(shù)最值求法運(yùn)用配方法求出，得出最值；
（3）根據(jù)當(dāng)AP=AQ時(shí)和當(dāng)PA=PQ時(shí)當(dāng)QA=QP時(shí)，分別得出t的值．

解答：解：（1）在△ABC中，∵AB=6，BC=8，∠ABC=90°，
根據(jù)勾股定理得AC=10，
∴sin∠ACB=

3

5

，
∴sin∠PAQ=

3

5

，
過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥AD于點(diǎn)M，
在Rt△AQM中，
∵AQ=10-t，
∴QM=AQsin∠PAQ=

3

5

（10-t），
∴S=

1

2

×t×

3

5

（10-t），
即S=-

3

10

t²+3t（0＜t≤8）；
（2）S=-

3

10

（t²-10t+25）+

15

2

=-

3

10

（t-5）²+

15

2

，
當(dāng)t=5時(shí)，△APQ的面積S取得最大值，為

15

2

；

（3）△APQ是等腰三角形，
①當(dāng)AP=AQ時(shí)，
t=10-t，
則t=5，
②當(dāng)PA=PQ時(shí)，作PE⊥AQ于E
∵cos∠OAQ=

4

5

，則AE=

4

5

t，
∴AQ=

8

5

t，
∴t+

8

5

t=10，
∴t=

50

13

，
③當(dāng)QA=QP時(shí)，作QF⊥AD于點(diǎn)F，
∴AF=

4

5

（10-t），
∴

8

5

（10-t）=t，
∴t=

80

13

，
綜上所述，當(dāng)t=5或t=

50

13

或t=

80

13

時(shí)，
△APQ是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的最值問(wèn)題以及等腰三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)，等腰三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)最值問(wèn)題是中考中重點(diǎn)內(nèi)容同學(xué)們應(yīng)熟練掌握并應(yīng)用．