Question

4．如圖，∠B=∠ACD=90°，AB=4，AC=5，當AD=$\frac{25}{3}$或$\frac{25}{4}$時，這兩個直角三角形相似．

Answer 1

分析 先利用勾股定理計算出BC=3，再分類討論：由于∠B=∠ACD=90°，則根據(jù)兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似，當AB：CD=BC：AC時，△ABC∽△DCA；當AB：AC=BC：CD時，△ABC∽△ACD，然后分別利用比例性質(zhì)求出CD，再利用勾股定理計算對應的AD的長．

解答 解：在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∵∠B=∠ACD=90°，
∴當AB：CD=BC：AC時，△ABC∽△DCA，即4：CD=3：5，解得CD=$\frac{20}{3}$，此時AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\frac{25}{3}$；
當AB：AC=BC：CD時，△ABC∽△ACD，即4：5=3：CD，解得CD=$\frac{15}{4}$，此時AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\frac{25}{4}$；
綜上所述，當AD=$\frac{25}{3}$或$\frac{25}{4}$時，這兩個直角三角形相似．
故答案為$\frac{25}{3}$或$\frac{25}{4}$．

點評 本題考查了相似三角形判定：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；注意利用對應邊的變換進行分類討論．