Question

19．如圖，在直角坐標平面內有兩點A（0，2）、B（-2，0）、C（2，0）．
（1）△ABC的形狀是 等腰直角三角形；
（2）求△ABC的面積及AB的長；
（3）在y軸上找一點P，如果△PAB是等腰三角形，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據點的坐標判斷出OA=OB=OC，從而得出結論；
（2）根據點的坐標求出求出BC，OA，再用三角形面積公式即可；
（3）設出點P坐標，根據平面坐標系中，兩點間的距離公式表示出BP，AP，再分三種情況計算即可．

解答 解：∵A（0，2）、B（-2，0）、C（2，0）．
∴OB=OC=OA，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AO⊥BC，
∴△ABC是等腰直角三角形．
故答案為等腰直角三角形，
（2）∵A（0，2）、B（-2，0）、C（2，0）．
∴BC=4，OA=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC×AO=$\frac{1}{2}$×4×2=4，
∵A（0，2）、B（-2，0），
∴AB=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$，
（3）設點P（0，m），
∵A（0，2）、B（-2，0），
∴AB=2$\sqrt{2}$，BP=$\sqrt{4+{m}^{2}}$，AP=|m-2|，
∵△PAB是等腰三角形，
∴①當AB=BP時，
∴2$\sqrt{2}$=$\sqrt{4+{m}^{2}}$，
∴m=2（舍）或m=-2，
∴P（0，-2），
②當AB=AP時，
∴2$\sqrt{2}$=|m-2|，
∴m=2+2$\sqrt{2}$或m=2-2$\sqrt{2}$，
∴P（0，2-2$\sqrt{2}$）或P（0，2+2$\sqrt{2}$）
③當AP=BP時，
∴|m-2|=$\sqrt{4+{m}^{2}}$，
∴m=0，
∴P（0，0），
∴P（0，-2）或P（0，2-2$\sqrt{2}$）或P（0，2+2$\sqrt{2}$）或P（0，0）．

點評 此題是等腰三角形性質，主要考查了等腰三角形的判定，兩點間的距離公式，方程的解法，解本題的關鍵是分類討論計算即可．