Question

14．如圖，已知點A是雙曲線y=$\frac{{\sqrt{3}}}{x}$在第一象限分支上的一個動點，連結(jié)AO并延長交另一分支于點B，以AB為邊作等邊△ABC，點C在第四象限內(nèi)，且隨著點A的運動，點C的位置也在不斷變化，但點C始終在雙曲線y=$\frac{k}{x}$上運動，則k的值是-3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)點A的坐標為（a，$\frac{\sqrt{3}}{a}$），連接OC，則OC⊥AB，表示出OC，過點C作CD⊥x軸于點D，設(shè)出點C坐標，在Rt△OCD中，利用勾股定理可得出x²的值，進而得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)A（a，$\frac{\sqrt{3}}{a}$），
∵點A與點B關(guān)于原點對稱，
∴OA=OB，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB⊥OC，OC=$\sqrt{3}$AO，
∵AO=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{3}{{a}^{2}}}$，
∴CO=$\sqrt{3{a}^{2}+\frac{9}{{a}^{2}}}$，
如圖，過點C作CD⊥x軸于點D，則可得∠AOD=∠OCD（都是∠COD的余角），
設(shè)點C的坐標為（x，y），則tan∠AOD=tan∠OCD，
即$\frac{\frac{\sqrt{3}}{a}}{a}$=$\frac{x}{-y}$，
解得y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a²x．
在Rt△COD中，CD²+OD²=OC²，
即y²+x²=3a²+$\frac{9}{{a}^{2}}$，
將y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a²x代入，可得：
x²=$\frac{9}{{a}^{2}}$，
故x=$\frac{3}{a}$，y=-$\sqrt{3}$a，
則xy=-3$\sqrt{3}$，即k=-3$\sqrt{3}$．
故答案為：-3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，熟知反比例函數(shù)圖象上各點的坐標一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．