Question

如圖，△ABC中，∠CAB+∠CBA=120°，點D，E分別在邊AC，BC上，且AD=BE，以DE為邊作等邊△DEF，連接AF，BF．
求證：△FAB是等邊三角形．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：設AC、BF相交于點O，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠C=60°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得DF=EF，∠DFE=60°，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠ADF=∠BEF，然后利用“邊角邊”證明△ADF和△BEF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AF=BF，全等三角形對應角相等可得∠AFD=∠BFE，再求出∠AFB=∠DFE=60°，然后根據(jù)等邊三角形的判定方法證明即可．

解答：證明：如圖，設AC、BF相交于點O，
∵∠CAB+∠CBA=120°，
∴∠C=60°，
∵△DEF是等邊三角形，
∴DF=EF，∠DFE=60°，
由三角形的外角性質(zhì)得，∠ADF=∠DFE+∠DOF，
∠BEF=∠C+∠COE，
∵∠DFE=∠C=60°，∠DOF=∠COE（對頂角相等），
∴∠ADF=∠BEF，
在△ADF和△BEF中，

AD=BE ∠ADF=∠BEF DF=EF

，
∴△ADF≌△BEF（SAS），
∴AF=BF，∠AFD=∠BFE，
∴∠AFB=∠DFE=60°，
∴△FAB是等邊三角形．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)與三角形全等的判定方法是解題的關鍵，難點在于求出∠ADF=∠BEF．