Question

如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F，且AF=BD，連接BF．
（1）試判斷線段BD與CD的大小關(guān)系；
（2）如果AB=AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論；
（3）若△ABC為直角三角形，且∠BAC=90°時，判斷四邊形AFBD的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）先證明△AFE≌△DCE，從而得到AF=CD，因為AF=BD，從而得解．
（2）根據(jù)三線合一可知道AD⊥BC，從而四邊形是矩形．
（3）直角三角形斜邊的中線是斜邊的一半，從而AD=BD，四邊形是菱形．

解答：解：（1）∵AF∥BC，
∴∠FAE=∠CDE，
在△AEF和△DEC中，

∠FAE=∠CDE AE=DE ∠AEF=∠CED

，
∴△AEF≌△DEC（ASA），
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴BD=CD．

（2）∵AF∥BC，AF=BD，
∴四邊形AFBD是平行四邊形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴四邊形AFBD是矩形．

（3）∵∠BAC=90°，BD=CD，
∴BD=AD（直角三角形斜邊的中線是斜邊的一半）．
∵四邊形AFBD是平行四邊形，
∴四邊形AFBD是菱形．

點評：本題考查平行四邊形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)．