Question

16．如圖，拋物線L：y=-$\frac{1}{2}$（x-t）（x-t+4）（常數(shù)t＞0）與x軸從左到右的交點(diǎn)為B，A，過線段OA的中點(diǎn)M作MP⊥x軸，交雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）于點(diǎn)P，且OA•MP=12．
（1）求k的值；
（2）當(dāng)t=1時(shí)，求AB長，并求直線MP與L對稱軸之間的距離；
（3）把L在直線MP左側(cè)部分的圖象（含與直線MP的交點(diǎn)）記為G，用t表示圖象G最高點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y），則可表示出MP，由M為OA的中點(diǎn)，可求得OA，由條件可求得xy，則可求得k的值；
（2）把t=1，代入拋物線解析式，令y=0可求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可求得AB的長，再求得拋物線的對稱軸和直線MP的方程，可求得直線MP與對稱軸之間的距離；
（3）可用t表示出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步可表示出直線MP的解析式，再根據(jù)頂點(diǎn)的位置可求得其最大值，可表示出G的坐標(biāo)．

解答 解：
（1）設(shè)P（x，y）則MP=y，
∵M(jìn)為OA的中點(diǎn)，
∴OA=2x，
∵OA•MP=12，
∴2xy=12，
∴xy=6，
∴k=6；
（2）當(dāng)t=1，y=0時(shí)，0=-$\frac{1}{2}$（x-1）（x-1+4），解得x=1或x=-3，
∴A（1，0）、B（-3，0），
∴AB=4；
∴拋物線L的對稱軸為直線x=$\frac{1+（-3）}{2}$=-1，
∵OA=1，
∴MP為直線x=$\frac{1}{2}$，
∴直線MP與L對稱軸之間的距離為$\frac{3}{2}$；
（3）在y=-$\frac{1}{2}$（x-t）（x-t+4）中，令y=0可得-$\frac{1}{2}$（x-t）（x-t+4）=0，解得x=t或x=t-4，
∴A（t，0），B（t-4，0），
∴拋物線L的對稱軸為直線x=$\frac{t+t-4}{2}$=t-2，
又∵M(jìn)P為直線x=$\frac{t}{2}$，
∴當(dāng)拋物線L的頂點(diǎn)在直線MP上或左側(cè)時(shí)，即t-2≤$\frac{t}{2}$時(shí)，解得t≤4，此時(shí)，頂點(diǎn)（t-2，2）為圖象G最高點(diǎn)的坐標(biāo)；
當(dāng)拋物線L的頂點(diǎn)在直線MP右側(cè)時(shí)，即t-2＞$\frac{t}{2}$時(shí)，解得t＞4，此時(shí)時(shí)，交點(diǎn)直線MP與拋物線L的交點(diǎn)為（$\frac{t}{2}$，-$\frac{1}{8}$t²+t），為圖象G最高點(diǎn)的坐標(biāo)．

點(diǎn)評 本題為二次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程、分類討論思想和方程思想等知識．在（1）中注意方程思想的應(yīng)用，在（2）中求得A、B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（3）中注意分兩種情況．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．