Question

已知：△ABC的高AD所在直線與高BE所在直線相交于點F。

（1）如圖（1），若△ABC為銳角三角形，且∠ABC=45°，過點F作FG∥BC，交AB于點G，求證：FG+DC=AD；
（2）如圖（2），若∠ABC=135°，過點F作FG∥BC，交AB的延長線于點G，則FG、DC、AD之間滿足的數(shù)量關系是____；
（3）在（2）的條件下，若，DC=3，將一個45°角的頂點與點B重合并繞點B旋轉，這個角的兩邊分別交線段FG于M、N兩點（如圖（3）），連接CF，線段CF分別與線段BM、線段BN相交于P、Q兩點，若，求線段PQ的長。

Answer 1

解：（1）證明：∵∠ADB=90°，∠ABC=45°， ∴∠BAD=∠ABC=45°， ∴AD=BD， ∵∠BEC=90°， ∴∠CBE+∠C=90°， ∵∠DAC+∠C=90°， ∴∠CBE=∠DAC， ∴△FDB≌△CDA ∵GF∥BD， ∴∠AGF=∠ABC=45°， ∴∠AGF=∠BAD， ∴FA=FG， ∴FG+DC=FA+DF=AD；
（2）FG-DC=AD；
（3）如圖，∵∠ABC=135°， ∴∠ABD=45°， ∵∠ADB=90°， ∴∠DAB=∠DBA=45°， ∴AD=BD， ∵FG∥BC， ∴∠G=∠DBA=∠DAB， ∴AF=FG， FG2+AF2=AG2， ∴FG=AF=5， ∵DC=3，由（2）知：FG-DC=AD， ∴AD=BD=2， ∴BC=1，DF=3， ∴△FDC為等腰直角三角形， ∴， 分別過B、N作BH⊥FG于點H，NK⊥BC于點K， ∴四邊形DFHB為矩形， ∴HF=BD=2，BH=DF=3，BH=HG=3， ∴， ∵sinG=， ∴， 又∵NK=KG，， ∴BK=BG-KG=BC-NK=， ∵∠MBN=∠HBG=45°， ∴∠MBH=∠NBK， ∵∠MHB=∠NKB=90°， ∴△MBH∽△NBK， ∴， ∴MH=1， ∴FM=1， ∵BC∥FG， ∴∠BCF=∠CFN， ∵∠BPC=∠MPF，CB=FM， ∴△BPC≌△MPF， ∴， ∵∠BQC=∠NQF，∠BCF=∠CFN， ∴△BCQ∽△NFQ， ∴， ∴， ∴， ∴。