Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，以AC為底邊作等腰三角形△ABC，AD=CD=10，過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為F，DE與AB相交于點(diǎn)E，連接CE．
（1）求證：AE=CE=BE；
（2）若AB=15cm，BC=9cm，P是射線DE上的一點(diǎn)．則當(dāng)DP為何值時，△PBC的周長最小，并求出此時△PBC的周長．

Answer 1

（1）證明：∵DE⊥AC，∠ACB=90°，
∴EF∥BC，
又∵△ADC是等腰三角形，
∴點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)（等腰三角形的三線合一的性質(zhì)），
∴EF是△ABC的中位線，即可得點(diǎn)E是斜邊AB的中點(diǎn)，
∴在RT△ABC中可得，AE=CE=BE；

（2）解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=15cm，BC=9cm，
∴AC===12，
∵AD=CD=10cm，DE⊥AC，
∴F是AC的中點(diǎn)，
∴EF=BC=×9=4.5，AF=AC=×12=6，
∴DF===8，
∴DE=DF+EF=8+4.5=12.5cm，
根據(jù)軸對稱求最短路徑的知識，可得當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合的時候PB+PC最小，也即△PBC的周長最小，
此時PB=PC=AB=，即DP=DE=12.5cm時，△PBC的周長最小，
∴△PBC的最小周長=PB+PC+BC=15+9=24cm．
分析：（1）根據(jù)題意得出∠AFE=∠ACE=90°可得出EF∥BC，再由點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)可得出點(diǎn)E是斜邊AB的中點(diǎn)，繼而利用直角三角形的斜邊中線的性質(zhì)可得出所證得結(jié)論．
（2）根據(jù)軸對稱求最短路徑的知識可得，點(diǎn)C關(guān)于DE的對稱點(diǎn)和點(diǎn)B的連線與DE的交點(diǎn)即是點(diǎn)P的位置，結(jié)合圖形及（1）可得點(diǎn)P的位置即是點(diǎn)E的位置，從而可求出此時△PBC的周長．
點(diǎn)評：本題考查利用軸對稱求最短路徑的知識，與實(shí)際結(jié)合得比較緊密，有一定的綜合性，解答本題（2）的關(guān)鍵是利用軸對稱的性質(zhì)確定點(diǎn)P的位置．