Question

12．已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，且經(jīng)過點(diǎn)A（1，$\frac{1}{4}$）．
（1）求此函數(shù)的解析式；
（2）將該拋物線沿著y軸向上平移后頂點(diǎn)落在點(diǎn)P處，直線x=2分別交原拋物和新拋物線于點(diǎn)M和N，且S_△PMN=$3\sqrt{2}$，求：MN的長以及平移后拋物線的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可直接設(shè)y=ax²把點(diǎn)（1，-3）代入得a=-3，所以y=-3x²；
（2）設(shè)平移后y=$\frac{1}{4}$x²+d（d＞0），則MN=d，根據(jù)題意得出S=$\frac{1}{2}$×2×d=3$\sqrt{2}$，即可求得d的值，從而求得平移后的解析式．

解答 解：（1）∵拋物線頂點(diǎn)是原點(diǎn)，可設(shè)y=ax²，
把點(diǎn)A（1，$\frac{1}{4}$）代入，得a=，$\frac{1}{4}$，
所以這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式為y=$\frac{1}{4}$x²；
（2）設(shè)平移后y=$\frac{1}{4}$x²+d（d＞0），
∴MN=d，S=$\frac{1}{2}$×2×d=3$\sqrt{2}$，
∴d=3$\sqrt{2}$，
∴y=$\frac{1}{4}$x²+3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 主要考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟練掌握待定系數(shù)法和平移的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．