Question

8．已知，在等邊△ABC中，AB=2$\sqrt{3}$，D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)（如圖1）．若將△BDE繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△BD₁E₁，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°），記射線CE₁與AD₁的交點(diǎn)為P．
（1）判斷△BDE的形狀；
（2）在圖2中補(bǔ)全圖形，
①猜想在旋轉(zhuǎn)過程中，線段CE₁與AD₁的數(shù)量關(guān)系并證明；
②求∠APC的度數(shù)；
（3）點(diǎn)P到BC所在直線的距離的最大值為2．（直接填寫結(jié)果）

Answer 1

分析 （1）由D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)得到BE=$\frac{1}{2}$BC，BD=$\frac{1}{2}$BA，加上△ABC為等邊三角形，則∠B=60°，BA=BC，所以BD=BE，于是可判斷△BDE為等邊三角形；
（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得△BD₁E₁為等邊三角形，則BD₁=BE₁，∠D₁BE₁=60°，而∠ABC=60°，所以∠ABD₁=∠CBE₁，則路旋轉(zhuǎn)的定義，△ABD₁可由△CBE₁繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CE₁=AD₁；
②由于△ABD₁可由△CBE₁繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)得到∠BAD₁=∠BCE₁，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和得∠APC=∠ABC=60°；、
（3）由于∠APC=∠D₁BE₁=60°，則可判斷點(diǎn)P、D₁、B、E₁共圓，于是可判斷當(dāng)BP⊥BC時，點(diǎn)P到BC所在直線的距離的最大值，此時點(diǎn)E₁在AB上，然后利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可得點(diǎn)P到BC所在直線的距離的最大值．

解答 解：（1）∵D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC，BD=$\frac{1}{2}$BA，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=60°，BA=BC，
∴BD=BE，
∴△BDE為等邊三角形；
（2）①CE₁=AD₁．理由如下：
∵△BDE繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△BD₁E₁，
∴△BD₁E₁為等邊三角形，
∴BD₁=BE₁，∠D₁BE₁=60°，
而∠ABC=60°，
∴∠ABD₁=∠CBE₁，
∴△ABD₁可由△CBE₁繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，
∴CE₁=AD₁；
②∵△ABD₁可由△CBE₁繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，
∴∠BAD₁=∠BCE₁，
∴∠APC=∠ABC=60°；
（3）∵∠APC=∠D₁BE₁=60°，
∴點(diǎn)P、D₁、B、E₁共圓，
∴當(dāng)BP⊥BC時，點(diǎn)P到BC所在直線的距離的最大值，此時點(diǎn)E₁在AB上，
在Rt△PBC中，PB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×2$\sqrt{3}$=2，
∴點(diǎn)P到BC所在直線的距離的最大值為2．
故答案為2．

點(diǎn)評 本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．