Question

【題目】如圖，矩形中，，，是邊上一點(diǎn)，將沿直線對折，得到．

（1）當(dāng)平分時，求的長；

（2）連接，當(dāng)，求的面積；

（3）當(dāng)射線交于點(diǎn)時，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）由折疊性質(zhì)得∠MAN=∠DAM，證出∠DAM=∠MAN=∠NAB，由三角函數(shù)得出DM=ADtan∠DAM=即可；

（2）延長MN交AB延長線于點(diǎn)Q，由矩形的性質(zhì)得出∠DMA=∠MAQ，由折疊性質(zhì)得出∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，得出∠MAQ=∠AMQ，證出MQ=AQ，設(shè)NQ=x，則AQ=MQ=1+x，證出∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=4，AQ=5，即可求出△ABN的面積；

（3）過點(diǎn)A作AH⊥BF于點(diǎn)H，證明△ABH∽△BFC，得出對應(yīng)邊成比例，得出當(dāng)點(diǎn)N、H重合（即AH=AN）時，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此時點(diǎn)M、F重合，B、N、M三點(diǎn)共線，由折疊性質(zhì)得：AD=AH，由AAS證明△ABH≌△BFC，得出CF=BH，由勾股定理求出BH，得出CF，即可得出結(jié)果．

解：（1）由折疊性質(zhì)得：，

，

平分，，

，

四邊形是矩形，

，

，

；

（2）延長交延長線于點(diǎn)，如圖1所示：

四邊形是矩形

，

，

由折疊性質(zhì)得：，

，，，

，

，

設(shè)，則，

，

，

在中，由勾股定理得：，

，

解得：，

，，

，

；

（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖2所示：

四邊形是矩形

，

，

，

，

，

，，

可以看到點(diǎn)是在以為圓心3為半徑的圓上運(yùn)動，所以當(dāng)射線與圓相切時，最大，此時、、三點(diǎn)共線，如圖3所示

由折疊性質(zhì)得：，

，

，

在和中，，

，

，

由勾股定理得：，

，

的最大值．