Question

如圖，從A地到B地的公路需經(jīng)過C地，圖中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市規(guī)劃的需要，將在A、B兩地之間修建一條筆直的公路．
（1）求改直的公路AB的長；
（2）問公路改直后比原來縮短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）

Answer 1

考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用

專題：幾何圖形問題

分析：（1）作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，根據(jù)三角函數(shù)求得CH，AH，在Rt△BCH中，根據(jù)三角函數(shù)求得BH，再根據(jù)AB=AH+BH即可求解；
（2）在Rt△BCH中，根據(jù)三角函數(shù)求得BC，再根據(jù)AC+BC-AB列式計(jì)算即可求解．

解答：解：（1）作CH⊥AB于H．
在Rt△ACH中，CH=AC•sin∠CAB=AC•sin25°≈10×0.42=4.2（千米），
AH=AC•cos∠CAB=AC•cos25°≈10×0.91=9.1（千米），
在Rt△BCH中，BH=CH÷tan∠CBA=4.2÷tan37°≈4.2÷0.75=5.6（千米），
∴AB=AH+BH=9.1+5.6=14.7（千米）．
故改直的公路AB的長14.7千米；

（2）在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA=4.2÷sin37°≈4.2÷0.6=7（千米），
則AC+BC-AB=10+7-14.7=2.3（千米）．
答：公路改直后比原來縮短了2.3千米．

點(diǎn)評：此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要是三角函數(shù)的基本概念及運(yùn)算，關(guān)鍵把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題加以計(jì)算．