Question

如圖，在平面直角坐標系中，點P從原點O出發(fā)按圖中“→”方向運動，每次運動1個單位長度，得到點P₁、P₂、P₃、P₄、P₅、P₆、…，且△OP₁P₂、△P₂P₄P₆、△P₆P₉P₁₂…都是等邊三角形，則P₁的坐標是    ，P₄₂₀的坐標是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)等邊三角形的每一個內(nèi)角都是60°的性質(zhì)，利用三角函數(shù)即可求解點P₁的坐標；
根據(jù)第1個三角形有2個點，第2個三角形增加4個點，第3個三角形增加6個點，…，依此規(guī)律，第n個三角形增加2n個點，然后利用求和公式計算出點P₄₂₀在第幾個三角形，再根據(jù)第n個三角形的邊長等于n，利用求和公式進行計算即可．
解答：解：∵△OP₁P₂是等邊三角形，
∴∠P₁OP₂=60°，
1×cos60°=1×=，
1×sin60°=1×=，
∴點P₁的坐標是（，）；

∵第1個三角形有2個點，
第2個三角形增加4個點，
第3個三角形增加6個點，
…，
依此規(guī)律，第n個三角形增加2n個點，
∴2+4+6+…+2n=，
=420，
整理得，n²+n-420=0，
解得n=20，n=-21（舍去），
∴P₄₂₀是第20個三角形最后的一個點，在x軸上，
∵1+2+3+…+20==210，
∴P₄₂₀的坐標是（210，0）．
故答案為：（，）；（210，0）．
點評：本題考查了等邊三角形的三邊都相等，每一個內(nèi)角都是60°的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)第n個等邊三角形增加2n個點的規(guī)律是解題的關(guān)鍵，本題規(guī)律性較強，靈活性較大，有助于同學(xué)們學(xué)習能力的培養(yǎng)．