Question

如圖，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為（2，0）和（0，），將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)．

（1）寫出，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出直線的解析式；

（2）將沿著垂直于軸的線段折疊，（點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在上，點(diǎn)不與，重合）如圖，使點(diǎn)落在軸上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（），與重疊部分的面積為．

i）試求出與之間的函數(shù)關(guān)系式（包括自變量的取值范圍）；

ii）當(dāng)為何值時(shí)，的面積最大？最大值是多少？

iii）是否存在這樣的點(diǎn)，使得為直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

解：（1）

設(shè)直線的解析式，則有

     解得

直線的解析式為

（2）i）①點(diǎn)在原點(diǎn)和軸正半軸上時(shí)，重疊部分是．

則

當(dāng)與重合時(shí)，

②當(dāng)在軸的負(fù)半軸上時(shí)，設(shè)與軸交于點(diǎn)，則重疊部分為梯形.

又

當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為

綜合得

ii）當(dāng)時(shí)，  對(duì)稱軸是

拋物線開口向上，在中，隨的增大而減小

當(dāng)時(shí)，的最大值＝

當(dāng)時(shí)，

對(duì)稱軸是

拋物線開口向下

當(dāng)時(shí)，有最大值為

綜合當(dāng)時(shí)，有最大值為

iii）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為和

附：詳解：當(dāng)以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，作交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，

點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）

點(diǎn)的坐標(biāo)為

當(dāng)以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)

同樣有

點(diǎn)的坐標(biāo)

綜合①②知滿足條件的坐標(biāo)有和．