Question

如圖，在銳角三角形ABC中，BC=12，△ABC的面積為48，D，E分別是邊AB，AC上的兩個動點（D不與A，B重合），且保持DE∥BC，以DE為邊，在點A的異側作正方形DEFG。

（1）當正方形DEFG的邊GF在BC上時，求正方形DEFG的邊長；
（2）設DE=x，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為y，試求y關于x的函數關系式，寫出x的取值范圍，并求出y的最大值。

Answer 1

解：（1）當正方形DEFG的邊GF在BC上時，如圖（1），過點A作BC邊上的高AM，交DE于N，垂足為M ∵S△ABC=48，BC=12， ∴AM=8 ∵DE∥BC，△ADE∽△ABC ∴ 而AN=AM-MN=AM-DE ∴ 解之得 ∴當正方形DEFG的邊GF在BC上時，正方形DEFG的邊長為4.8。
（2）分兩種情況： ①當正方形DEFG在△ABC的內部時，如圖（2）， △ABC 與正方形DEFG重疊部分的面積為正方形DEFG的面積， ∵DE=x， ∴，此時x的范圍是0＜x≤4.8。
②當正方形DEFG的一部分在△ABC的外部時，如圖（3）， 設DG與BC交于點Q，EF與BC交于點P， △ABC的高AM交DE于N， ∵DE=x，DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC 即 而AN=AM-MN=AM-EP ∴ 解得 所以 即 由題意，x>4.8，x＜12， 所以 因此△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為 當0＜x≤4.8時，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為4.82=23.04 當時，因為 所以當時 △ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為 因為24>23.04， 所以△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為24。