Question

11．已知一次函數(shù)y=$\frac{{\sqrt{2}}}{3}x+\sqrt{2}$的圖象與x軸、y軸分別交于點A和點B，點C的坐標(biāo)為（1，0），點D在x軸上，且∠BCD和∠ABD是兩個相等的鈍角，求經(jīng)過B，D兩點的一次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析 由直線AB的解析式可得出點A、B的坐標(biāo)，由∠BCD和∠ABD，∠D=∠D即可得出△BCD∽△ABD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出$\frac{BD}{AD}=\frac{CD}{BD}=\frac{BC}{AB}$，設(shè)點D（m，0），結(jié)合點A、B、C的坐標(biāo)即可得出CD、AD、BD的長度，進而可得出關(guān)于m的方程，解方程即可求出m的值，即得出點D的坐標(biāo)，再根據(jù)點B、D的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線BD的解析式．

解答 解：令y=$\frac{{\sqrt{2}}}{3}x+\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$中x=0，則y=$\sqrt{2}$，
∴B（0，$\sqrt{2}$）；
令y=$\frac{{\sqrt{2}}}{3}x+\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$中y=0，則x=-3，
∴A（-3，0）．
∵∠BCD和∠ABD，∠D=∠D，
∴△BCD∽△ABD，
∴$\frac{BD}{AD}=\frac{CD}{BD}=\frac{BC}{AB}$．
設(shè)D（m，0），
∵A（-3，0）、B（0，$\sqrt{2}$）、C（1，0），
∴CD=m-1，AD=m+3，BD=$\sqrt{（m-0）^{2}+（0-\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{2+{m}^{2}}$，
∴$\frac{\sqrt{2+{m}^{2}}}{m+3}=\frac{m-1}{\sqrt{2+{m}^{2}}}$，解得：m=$\frac{5}{2}$，
經(jīng)檢驗m=$\frac{5}{2}$是方程$\frac{\sqrt{2+{m}^{2}}}{m+3}=\frac{m-1}{\sqrt{2+{m}^{2}}}$的解，
∴D（$\frac{5}{2}$，0）．
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，
則有：$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{2}}\\{\frac{5}{2}k+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2\sqrt{2}}{5}}\\{b=\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴直線BD的解析式為y=-$\frac{2\sqrt{2}}{5}$x+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、相似三角形的判定與性質(zhì)以及利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是求出點B、D的坐標(biāo)．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)點的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．