Question

如圖，已知半徑為1的圓的圓心為M（0，1），點(diǎn)B（0，2），A是x軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，D是OA的中點(diǎn)，AB交⊙M于點(diǎn)C，若四邊形BCDM為平行四邊形，則sin∠ABD=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：連接BM，則平行四邊形BCDM中證出DC∥OB，由BO⊥OA，DC⊥AO，結(jié)合D是AO的中點(diǎn)得到△ACO中AC=OC．由OB⊥x軸，因此得到△AOB是等腰直角三角形，故AO=OB=2．作DN⊥AB于N點(diǎn)，則△DNA是等腰直角三角形，且AD=1算出DN=

2

2

，在Rt△OBD中算出BD=

5

，從而可得Rt△BND中，sin∠ABD=

DN

BD

=

10

10

．

解答：解：連接OC，則
∵OB是⊙O的直徑，∴∠OCB=90°，
∵四邊形BCDM是平行四邊形，
∴DC∥OB，
又∵BO⊥OA，
∴DC⊥AO，
∵D是AO的中點(diǎn)，
∴DC是△ACO的中線，
由此可得△ACO是等腰三角形，即AC=OC，
∵∠OCB=90°，
∴∠COA=∠A=45°，
因此得到Rt△AOB是等腰直角三角形，故AO=OB=2．
作DN⊥AB于N點(diǎn)，則△DNA是等腰直角三角形，且AD=1
∴DN=

2

2

∵Rt△OBD中，OB=2，OD=1，
∴BD=

OB2+OD2

=

22+12

=

5

，
故Rt△BND中，sin∠ABD=

DN

BD

=

10

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)的判定．