Question

已知關于x的一元二次方程x²-（k+2）x+2k=0．
（1）試說明無論k取何值時，這個方程一定有實數(shù)根；
（2）已知等腰△ABC的一邊a=1，若另兩邊b、c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．

Answer 1

【答案】分析：（1）整理根的判別式，得到它是非負數(shù)即可．
（2）分b=c，b=a兩種情況做．
解答：證明：（1）∵△=（k+2）²-8k=（k-2）²≥0，
∴方程總有實根；
（2）①當b=c時，則△=0，
即（k-2）²=0，
∴k=2，
方程可化為x²-4x+4=0，
∴x₁=x₂=2，
而b=c=2，
∴L_△ABC=5；

②當b=a=1，
∵x²-（k+2）x+2k=0．
∴（x-2）（x-k）=0，
∴x=2或x=k，
∵另兩邊b、c恰好是這個方程的兩個根，
∴k=1，
∴c=2，
∵a+b=c，
∴不滿足三角形三邊的關系，舍去；
綜上所述，△ABC的周長為5．
點評：本題考查了根與系數(shù)的關系，一元二次方程總有實數(shù)根應根據(jù)判別式來做，兩根互為相反數(shù)應根據(jù)根與系數(shù)的關系做，等腰三角形的周長應注意兩種情況，以及兩種情況的取舍．