Question

7．已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按下圖①擺放（點(diǎn)C與點(diǎn)E重合），點(diǎn)B、C（E）、F在同一條直線上．∠ACB=∠EDF=90°，∠BAC=30°，∠DEF=45°，BC=6cm，EF=12cm．如圖②所示，△DEF從圖①的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動(dòng)，在△DEF移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)P從△ABC的頂點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)．此時(shí)DE與AC相交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ．當(dāng)△DEF的頂點(diǎn)D移動(dòng)到AC邊上時(shí)，△DEF和點(diǎn)P同時(shí)停止移動(dòng)．設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）．
解答下列問題：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上？
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ為直角三角形？
（3）連結(jié)PE，當(dāng)四邊形APEC的面積最小時(shí)，求PE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)辄c(diǎn)A在線段PQ垂直平分線上，所以得到線段相等，可得CE=CQ，用含t的式子表示出這兩個(gè)線段即可得解；
（2）由（1）求得CE=CQ=t，AQ=6$\sqrt{3}$-t，AP=12-2t，當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，根據(jù)cosA=$\frac{AP}{AQ}$列方程解得t=$\frac{24+6\sqrt{3}}{13}$，當(dāng)∠AQP=90°時(shí)，根據(jù)cosA=$\frac{AQ}{AP}$得到方程$\frac{6\sqrt{3}-t}{12-2t}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，此方程無解，于是得到當(dāng)t=$\frac{24+6\sqrt{3}}{13}$時(shí)，△APQ為直角三角形；
（3）過點(diǎn)P作PN⊥BC，垂足為N（如圖2），在Rt△PBN中，∠B=60°，BP=2t，由三角函數(shù)得到PN=$\sqrt{3}$．求得S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AC=18$\sqrt{3}$，于是得到S_{四邊形APEC}=S_△ABC-S_△PBE=18$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（6-t）$•\sqrt{3}$t，=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²-3$\sqrt{3}$t+18$\sqrt{3}$．求出t=3時(shí)，S_{四邊形APEC}最小，即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）∵∠ACB=∠EDF=90°，∠BAC=30°，∠DEF=45°，BC=6cm，
∴AB=12cm，AC=6$\sqrt{3}$cm，
依題意，得EC=QC=t．
∴BE=6-t，AQ=6$\sqrt{3}$-t，
∵BP=2t，
∴AP=12-2t．
當(dāng)點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上時(shí)，AP=AQ，
∴12-2t=6$\sqrt{3}$-t，
解得t=12-6$\sqrt{3}$，
即當(dāng)t=12-6$\sqrt{3}$時(shí)，點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上；

（2）由（1）求得CE=CQ=t，AQ=6$\sqrt{3}$-t，AP=12-2t，
當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，cosA=$\frac{AP}{AQ}$，
∵∠BAC=30°，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{12-2t}{6\sqrt{3}-t}$，
解得：t=$\frac{24+6\sqrt{3}}{13}$，
當(dāng)∠AQP=90°時(shí)，cosA=$\frac{AQ}{AP}$，
∴$\frac{6\sqrt{3}-t}{12-2t}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
此方程無解，
∴當(dāng)t=$\frac{24+6\sqrt{3}}{13}$時(shí)，△APQ為直角三角形；

（3）過點(diǎn)P作PN⊥BC，垂足為N（如圖2），
∵在Rt△PBN中，∠B=60°，BP=2t，
∴PN=$\sqrt{3}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AC=18$\sqrt{3}$，
∴S_{四邊形APEC}=S_△ABC-S_△PBE=18$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（6-t）$•\sqrt{3}$t，
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²-3$\sqrt{3}$t+18$\sqrt{3}$．
∴當(dāng)t=3時(shí)，S_{四邊形APEC}最小，
∴此時(shí)，BE=6-t=3=CE，PB=2t=6=AP，
∴PE=$\frac{1}{2}$AC=3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的最值、特殊圖形的面積的求法等知識(shí)，圖形較復(fù)雜，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力，綜合性強(qiáng)，難度較大，利用已知表示出各線段長(zhǎng)度是解題關(guān)鍵．