Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)A（1，0），B（0，3），將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△COD，設(shè)E為AD的中點(diǎn)．

（1）若F為CD上一動(dòng)點(diǎn)，求出當(dāng)△DEF與△COD相似時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（2）過(guò)E作x軸的垂線l，在直線l上是否存在一點(diǎn)Q，使∠CQO＝∠CDO？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）F（﹣1，）或F（﹣，）；（2）Q（﹣1，2）或（﹣1，﹣1）．

【解析】

（1）當(dāng)△DEF∽△COD時(shí)，，DF＝DEcos∠CDO＝，據(jù)此求出EF的長(zhǎng)度和點(diǎn)F的坐標(biāo)即可；

（2）首先以CD為直徑作圓，設(shè)其圓心為P，交直線a于點(diǎn)Q、Q′，連接PQ，P Q′，由圓周角定理，可得∠CQO＝∠CQ′O＝∠CDO，在Rt△CDO中，由勾股定理可得CD＝，則PQ＝CD＝；然后求出點(diǎn)P的坐標(biāo)是多少；設(shè)Q（﹣1，a），則（）2+（a﹣）2＝，據(jù)此求出a的值是多少，進(jìn)而求出Q點(diǎn)坐標(biāo)是多少即可．

（1）∵A（1，0），B（0，3），

∴OA＝1，OB＝3，

∵將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△COD，

∴OC＝1，OD＝3，

∴C（0，1），D（﹣3，0），

如圖1，當(dāng)△DEF∽△COD時(shí)，，

∴EF＝，

∴F（﹣1，）；

當(dāng)△DEF∽△COD時(shí)，DF＝DEcos∠CDO＝，

作FK⊥OD于K，

則FK＝DFsin∠CDO＝，DK＝DFcos∠CDO＝，

∴F（﹣，）；

（2）如圖2，以CD為直徑作圓，設(shè)其圓心為P，交直線a于點(diǎn)Q、Q′，連接PQ，P Q′，

由圓周角定理，

可得∠CQO＝∠CQ′O＝∠CDO，

在Rt△CDO中，由勾股定理可得CD＝，

則PQ＝CD＝，

又∵P為CD中點(diǎn)，P（﹣，），

設(shè)Q（﹣1，a），

則（）2+（a﹣）2＝，

解得a＝2或﹣1，

∴Q（﹣1，2）或（﹣1，﹣1）．