Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)．拋物線(xiàn)與軸正半軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是該拋物線(xiàn)第一象限圖像上的一點(diǎn)，三點(diǎn)均在某一個(gè)正方形的邊上，且該正方形的任何一條邊均與某條坐標(biāo)軸平行，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．若這個(gè)正方形的面積最小，則的取值范圍是__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

根據(jù)拋物線(xiàn)與x軸正半軸交于點(diǎn)A，得點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），可得最小正方形的邊長(zhǎng)為3，最小正方形的面積為9，根據(jù)題意可得A、B、C中任意兩個(gè)點(diǎn)不能重合，故此可以確定點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的取值范圍．

解：∵拋物線(xiàn)與x軸正半軸交于點(diǎn)A，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），

如圖所示：

當(dāng)A，B，C三點(diǎn)均在某一個(gè)正方形的邊上， 且該正方形的任何一條邊均與某條坐標(biāo)軸平行，

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3）， 正方形的面積最小時(shí)， 此時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為3，

∴過(guò)點(diǎn)A、B、C的正方形的面積最小值為9，

∴S≥9．

當(dāng)y=3時(shí)， 解得

∴當(dāng)2＜m≤3，時(shí)， 正方形面積有最小值；

當(dāng)m=-1時(shí)， 正方形最小邊長(zhǎng)也為3， 正方形面積也有最小值，

∵C在第一象限，m＞0，

綜上所述：點(diǎn)C的橫坐標(biāo)m的取值范圍是： 2＜m≤3．

故答案為：2＜m≤3．