Question

如圖，CD為⊙O的直徑，點(diǎn)B在⊙O上，連接BC、BD，過(guò)點(diǎn)B的切線AE與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)A，OE∥BD，交BC于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)E．
（1）求證：∠E=∠C；
（2）當(dāng)⊙O的半徑為3，cosA=

4

5

時(shí)，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),勾股定理,平行線分線段成比例

專(zhuān)題：

分析：（1）連接OB，利用已知條件和切線的性質(zhì)證明：OE∥BD，即可證明：∠E=∠C；
（2）首先求出AB，AO的長(zhǎng)，設(shè)FB為x，利用勾股定理可得：EB²=EF²+BF²，即6²=（2x）²+x²，解方程可求出x的值，進(jìn)而求出EF的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：連接OB，
∵CD為⊙O的直徑，
∴∠CBD=∠CBO+∠OBD=90°，
∵AE是⊙O的切線，
∴∠ABO=∠ABD+∠OBD=90°，
∴∠ABD=∠CBO，
∵OB、OC是⊙O的半徑，
∴OB=OC，
∴∠C=∠CBO，
∵OE∥BD，
∴∠E=∠ABD，
∴∠E=∠C；

（2）解：∵在Rt△OBA中，cosA=

4

5

，OB=3，
∴AB=4，AO=5，
∴AD=2．
∴

AB

BE

=

AD

OD

，
∵BD∥OE，
∴

4

BE

=

2

3

，
∴BE=6，
∵OE∥BD，
∴∠EFB=∠CBD=∠OBE=90°，
∵在Rt△OBE中，tanE=

OB

BE

=

3

6

=

1

2

，
∴在Rt△FBE中，tanE=

FB

FE

=

1

2

，
設(shè)FB為x，
∵EB²=EF²+BF²
∴6²=（2x）²+x²
∴x=

6 5

5

，
∴EF=

12 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．