Question

如圖，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°．
（1）先作∠ACB的平分線；設(shè)它交AB邊于點O，再以點O為圓心，OB為半徑作⊙O（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）證明：AC是所作⊙O的切線；
（3）若BC=，sinA=，求△AOC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)角平分線的作法求出角平分線FC，進(jìn)而得出⊙O；
（2）根據(jù)切線的判定定理求出EO=BO，即可得出答案；
（3）根據(jù)銳角三角函數(shù)的關(guān)系求出AC，EO的長，即可得出答案．
解答：（1）解：如圖所示：

（2）證明：過點O作OE⊥AC于點E，
∵FC平分∠ACB，
∴OB=OE，
∴AC是所作⊙O的切線；

（3）解：∵sinA=，∠ABC=90°，
∴∠A=30°，
∴∠ACO=∠OCB=ACB=30°，
∵BC=，
∴AC=2，BO=tan30°BC=×=1，
∴△AOC的面積為：×AC×OE=×2×1=．
點評：此題主要考查了復(fù)雜作圖以及切線的判定和銳角三角函數(shù)的關(guān)系等知識，正確把握切線的判定定理是解題關(guān)鍵．