Question

如圖，在四邊形ABCD中，E是BC的中點，且∠AED=∠B=∠C=60°，過點E作EM⊥AD于M．
（1）求證：AB•DE=BE•AE； 
（2）求

EM

BC

的值．

Answer 1

分析：（1）利用已知得出∠BAE=∠DEC，進而得出△ABE∽△ECD，利用相似三角形的性質(zhì)求出即可；
（2）利用（1）中所求，進而得出△ABE∽AED，即可得出∠BAE=∠DAE，得出EN=EM，進而利用特殊角的三角函數(shù)值求出即可．

解答：（1）證明：∵∠AED=60°，
∴∠AEB+∠DEC=120°，
∵∠B=60°，
∴∠BAE+∠AEB=120°，
∴∠BAE=∠DEC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABE∽△ECD，
∴

AB

EC

=

AE

ED

，
∴AB•ED=EC•EA，
∵E是BC的中點，
∴EB=EC，
∴AB•DE=BE•AE．

（2）解：過點E作EN⊥AB于點N，
∵AB•DE=BE•AE，
∴

AB

BE

=

AE

DE

，
又∵∠AED=∠B=60°，
∴△ABE∽AED，
∴∠BAE=∠DAE，
∵NE⊥AB，EM⊥AD，
∴NE=EM，
∴sin60°=

NE

BE

=

3

2

，
∵BE=EC，
∴

EN

BC

=

EM

BC

=

3

4

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)數(shù)值等知識，綜合性較強，得出NE=EM是解題關(guān)鍵．