Question

【題目】如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是邊上的一動點(diǎn)，連結(jié)．

（1）若將沿折疊，點(diǎn)落在矩形的對角線上點(diǎn)處，試求的長；

（2）點(diǎn)運(yùn)動到某一時刻，過點(diǎn)作直線交于點(diǎn)，將與分別沿與折疊，點(diǎn)與點(diǎn)分別落在點(diǎn)，處，若，，三點(diǎn)恰好在同一直線上，且試求此時的長；

（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到邊的中點(diǎn)處時，過點(diǎn)作直線交于點(diǎn)，將與分別沿與折疊，點(diǎn)與點(diǎn)重合于點(diǎn)處，連結(jié)，請求出的長．

Answer 1

【答案】（1）的長為或；（2）的長為1或3；（3）．

【解析】

（1）分兩種情形：①當(dāng)點(diǎn)A落在對角線BD上時，設(shè)AP=PA′=x，構(gòu)建方程即可解決問題；②當(dāng)點(diǎn)A落在對角線AC上時，利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程即可解決問題；

（2）分兩種情形分別求解即可解決問題；

（3）如圖5中，作FH⊥CD由H．想辦法求出FH、CH即可解決問題；

（1）①當(dāng)點(diǎn)落在對角線上時，設(shè)，

在，∵，，∴，

∵，∴，

在中，，解得，

∴．

②當(dāng)點(diǎn)落在對角線上時，

由翻折性質(zhì)可知：，則有，

∴，∴．

∴的長為或；

（2）①如圖3中，設(shè)，則，

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：，，

∴，∴，∴，；

②如圖4中，設(shè)，則，

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：，，

∵，∴，

∴，∴；

綜上所述，的長為1或3；

（3）如圖5中，作由．

由翻折的性質(zhì)可知；．，共線，

設(shè)，在中，，

解得，∴，，

∵，∴，∴，

∴，，∴，

在中，．