Question

10．在△ABC中，AB=AC，MN垂直平分AB分別交AB、BC于M、N．如果△ACN是等腰三角形，那么∠B的大小是45°或36°．

Answer 1

分析 首先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出NA=NB，即可得到∠B=∠BAN=∠C．然后對△ANC中的邊進(jìn)行討論，然后在△ABC中，利用三角形內(nèi)角和定理即可求得∠B的度數(shù)．

解答 解：∵M(jìn)N是AB的中垂線，
∴NB=NA．
∴∠B=∠BAN，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
設(shè)∠B=x°，則∠C=∠BAN=x°．
1）當(dāng)AN=NC時，∠CAN=∠C=x°．
則在△ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得：4x=180，
解得：x=45，則∠B=45°；
2）當(dāng)AN=AC時，∠ANC=∠C=x°，而∠ANC=∠B+∠BAN，故此時不成立；
3）當(dāng)CA=CN時，∠NAC=∠ANC=$\frac{180°-x°}{2}$．
在△ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到：x+x+x+$\frac{180-x}{2}$=180，
解得：x=36．
即∠B的度數(shù)為45°或36°．
故答案為45°或36°．

點評 本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，正確對△ANC的邊進(jìn)行討論是解題的關(guān)鍵．