Question

幾何體的三視圖相互關(guān)聯(lián)．已知直三棱柱的三視圖如圖，在△PMN中，∠MPN=90°，PN=4，sin∠PMN=

4

5

．
（1）求BC及FG的長；
（2）若主視圖與左視圖兩矩形相似，求AB的長；
（3）在（2）的情況下，求直三棱柱的表面積．

Answer 1

考點(diǎn)：由三視圖判斷幾何體,相似多邊形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由圖可知BC=MN，F(xiàn)G=PM，進(jìn)一步由銳角三角函數(shù)的意義與勾股定理求得答案即可；
（2）利用相似的性質(zhì)列出比例式，代入數(shù)值求得答案即可；
（3）求出五個面的面積和得出答案即可．

解答：解：（1）由圖可知：
BC=MN，F(xiàn)G=PM，
∵sin∠PMN=

PN

MN

=

4

5

，PN=4，
∴MN=5，
∴FG=PM=

MN2-PN2

=3；
（2）∵矩形ABCD與矩形EFGH相似，且AB=EF，
∴

AB

FG

=

BC

EF

，
即

AB

3

=

5

AB

，
∴AB=

15

；
（3）直三棱柱的表面積：

1

2

×3×4×2+5×

15

+3×

15

+4×

15

=12+12

15

．

點(diǎn)評：此題考查立體圖形的三視圖，銳角三角函數(shù)，相似的性質(zhì)以及立體圖形的表面積，從三視圖入手，找出邊之間的關(guān)系，利用三角函數(shù)解決問題．