Question

4．閱讀材料：如圖1，△ABC的周長(zhǎng)為l，內(nèi)切圓O的半徑為r，連結(jié)OA、OB、OC，△ABC被劃分為三個(gè)小三角形，用S_△ABC表示△ABC的面積．
∵S_△ABC=S_△OAB+S_△OBC+S_△OCA
又∵S_△OAB=$\frac{1}{2}$AB•r，S_△OBC=$\frac{1}{2}$BC•r，S_△OCA=$\frac{1}{2}$CA•r
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•r+$\frac{1}{2}$BC•r+$\frac{1}{2}$CA•r=$\frac{1}{2}$l•r（可作為三角形內(nèi)切圓半徑公式）
（1）理解與應(yīng)用：利用公式計(jì)算邊長(zhǎng)分為5、12、13的三角形內(nèi)切圓半徑；
（2）類比與推理：若四邊形ABCD存在內(nèi)切圓（與各邊都相切的圓，如圖2）且面積為S，各邊長(zhǎng)分別為a、b、c、d，試推導(dǎo)四邊形的內(nèi)切圓半徑公式；
（3）拓展與延伸：若一個(gè)n邊形（n為不小于3的整數(shù)）存在內(nèi)切圓，且面積為S，各邊長(zhǎng)分別為a₁、a₂、a₃、…、a_n，合理猜想其內(nèi)切圓半徑公式（不需說(shuō)明理由）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)上述三角形的內(nèi)切圓的半徑公式，由已知條件，結(jié)合勾股定理的逆定理得該三角形是直角三角形．可以首先求得其面積與周長(zhǎng)，再根據(jù)其公式代入計(jì)算；
（2）同樣連接圓心和四邊形的各個(gè)頂點(diǎn)以及圓心和各切點(diǎn)，根據(jù)四邊形的面積等于四個(gè)三角形的面積進(jìn)行計(jì)算；
（3）根據(jù)上述方法和結(jié)論，即可猜想到：任意多邊形的內(nèi)切圓的半徑等于其面積的2倍除以多邊形的周長(zhǎng)．

解答 解：（1）∵5，12，13為邊長(zhǎng)的三角形為直角三角形，
∴S=$\frac{1}{2}$×5×12=30，周長(zhǎng)l=5+12+13=30，
∵S=$\frac{1}{2}$l•r，
∴30=$\frac{1}{2}$×30×r，
解得：r=2；

（2）連接OA，OB，OC，OD，并設(shè)內(nèi)接圓半徑為r，
∵S_{四邊形ABCD}=S_△OAB+S_△OBC+S_△OCD+S_△ODA=$\frac{1}{2}$a•r+$\frac{1}{2}$b•r+$\frac{1}{2}$c•r+$\frac{1}{2}$d•r=$\frac{1}{2}$（a+b+c+d）•r．
∴r=$\frac{2S}{a+b+c+d}$；

（3）猜想：r=$\frac{2S}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于圓的綜合題．考查了內(nèi)切圓的性質(zhì)、勾股定理的逆定理以及三角形面積問(wèn)題．注意把n邊形分成n個(gè)三角形進(jìn)行計(jì)算是關(guān)鍵．