Question

如圖，凸五邊形ABCDE內(nèi)接于半徑為1的⊙O，ABCD是矩形，AE=ED，且BE和CE把AD三等分．則此五邊形ABCDE的面積是（　　）

• A、

  3

  3

• B、

  3

  2

• C、

  3

• D、

  5 3

  4

Answer 1

分析：可過點E作EH⊥AD，交圓O與H，設(shè)EF=h，由相交弦定理結(jié)合平行線分線段成比例可得AF的長，將五邊形的面積簡化為一個四邊形與三角形的和，進而求解其和即可．

解答：解：如圖，作EH⊥AD，BC，F(xiàn)和G分別為EH與AD、BC的交點，H在圓周上，
∵AE=ED，EH⊥AD，
∴AF=DF，即直線EH是AD的垂直平分線，
∵矩形ABCD內(nèi)接⊙O，
∴EH過O，

記EF=h，0＜h＜1，則FH=2-h，
由AF=FD及相交弦定理，得AF=FD=

EF•FH

=

h(2-h)

，
又FG=2-2h，
所以S_ABCDE=S_矩形ABCD+S_△AED
=（2-2h）•2

h(2-h)

+

1

2

•h•2

h(2-h)

=（4-3h）

h•(2-h)

，
由題設(shè)知PQ=

1

3

AD=

1

3

BC，由PQ∥BC得EF=

1

3

EG，即EF=

1

2

FG，h=1-h，所以h=

1

2

，
故S_ABCDE=

5 3

4

．
故選D．

點評：本題主要考查了平行線分線段成比例的性質(zhì)以及圓形的相交弦定理問題，能夠?qū)⑺鶎W(xué)四邊形知識與圓聯(lián)系起來，從而快速求解．