Question

18．如圖，在Rt△ABD中，∠ADB=90°，⊙O是△ABD的外接圓，連接OD并延長，交過點(diǎn)A的切線于點(diǎn)C，BD的延長線交AC于點(diǎn)E．
（1）求證：∠CDE=∠CAD；
（2）若AB=2，AC=2$\sqrt{2}$，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）欲證明∠CDE=∠CAD，只要證明∠CAD=∠ABD，∠CDE=∠ABD即可．
（2）先利用勾股定理求出CO、CD，再證明△CDE∽△CAD，得$\frac{CD}{AC}$=$\frac{CE}{AD}$由此即可計算．

解答 （1）證明：∵AB是直徑，
∴∠BDA=90°，
∵AC是⊙O切線，
∴CA⊥AB，
∴∠CAB=90°，
∴∠EAD+∠BAD=90°，∠ABD+∠DAB=90°，
∴∠CAD=∠ABD，
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB=∠CDE，
∴∠CDE=∠CAD．
（2）解：在RT△CAO中，∵∠CAO=90°，AO=1，AC=2$\sqrt{2}$，
∴CO=$\sqrt{A{C}^{2}+A{O}^{2}}$=$\sqrt{1+8}$=3，CD=OC-OD=2，
∵∠C=∠C，∠CDE=∠CAD，
∴△CDE∽△CAD，
∴$\frac{CD}{AC}$=$\frac{CE}{AD}$
∴CD²=CE•CA，
∴4=2$\sqrt{2}$CE，
∴CE=$\sqrt{2}$，
∴AE=AC-CE=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查切線的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓的有關(guān)知識，屬于中考常考題型．