Question

9．如圖，DE是⊙O的直徑，過點(diǎn)D作⊙O的切線AD，C是AD的中點(diǎn)，AE交⊙0于點(diǎn)B，且BC∥ED．
（1）BC是⊙O的切線嗎？若是，給出證明；若不是，說明理由；
（2）若⊙0的半徑為1，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）連接OB，由BC與OD平行，BC=OD，得到四邊形BCDO為平行四邊形，由AD為圓的切線，利用切線的性質(zhì)得到OD垂直于AD，可得出四邊形BCDO為矩形，利用矩形的性質(zhì)得到OB垂直于BC，即可得出BC為圓O的切線；
（2）連接BD，由ED為圓O的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到∠DBE為直角，由BCOE為平行四邊形，得到BC與OE平行，且BC=OE=1，在直角三角形ABD中，C為AD的中點(diǎn)，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半求出AD的長即可．

解答 解：（1）是，理由如下：
如圖，連接OB．
∵BC∥OD，DC=AC，∴BC=$\frac{1}{2}$DE=OD，
∴四邊形BCDO為平行四邊形，
∵AD為圓O的切線，
∴OD⊥AD，
∴四邊形BCDO為矩形，
∴OB⊥BC，
則BC為圓O的切線；

（2）連接BD，∵DE是直徑，
∴∠DBE=90°，
∵四邊形BCOE為平行四邊形，
∴BC∥OE，BC=OE=1，
在Rt△ABD中，C為AD的中點(diǎn)，
∴BC=$\frac{1}{2}$AD=1，
則AD=2．

點(diǎn)評 此題考查了切線的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．