Question

13．如圖，已知等邊三角形OAB的頂點(diǎn)O（0，0），A（0，3），將該三角形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，則旋轉(zhuǎn)2017次后，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 由點(diǎn)B的旋轉(zhuǎn)周期為6知點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)2017次后的坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)1次后的坐標(biāo)相同，再結(jié)合圖形解直角三角形得出點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)1次后的坐標(biāo)即可得．

解答 解：由題意知點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)$\frac{360°}{60°}$=6次后與點(diǎn)B重合，即點(diǎn)B的旋轉(zhuǎn)周期為6，
∵2017÷6=336…1，
∴點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)2017次后的坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)1次后的坐標(biāo)相同，
如圖，OB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到OB₁，過點(diǎn)B₁作B₁C⊥x軸，

∵△OAB為等邊三角形，且A（0，3），
∴OA=OB=OB₁=3，∠AOB=60°，
∴∠BOC=∠B₁OC=30°，
則B₁C=OB₁sin∠B₁OC=3×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，OC=OB₁cos∠B₁OC=3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴旋轉(zhuǎn)2017次后，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
故答案為：（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查坐標(biāo)與圖形的變化-旋轉(zhuǎn)，根據(jù)題意得出點(diǎn)B的旋轉(zhuǎn)周期為6及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、解直角三角形是解題的關(guān)鍵．