Question

如圖，雙曲線y=

k

x

（x＞0）的圖象經(jīng)過矩形OABC的AB、BC邊的中點F、E，若OE=

5

且四邊形OEBF的面積為2．
（1）求雙曲線的解析式；
（2）求點E，B，F(xiàn)的坐標(biāo)；
（3）若點P為x軸上一動點，求出點P的坐標(biāo)，使得△POE為等腰三角形．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）設(shè)矩形AOCB長為a，寬為b，表示出AF，OA，CE，OC，進(jìn)而表示出三角形AOF與三角形COE面積，得到四邊形BEOF面積，根據(jù)三角形AOF面積與四邊形BEOF面積之比求出三角形AOF面積，利用反比例函數(shù)k的幾何意義求出k的值，即可確定出解析式；
（2）由k的值，利用反比例函數(shù)k的幾何意義求出三角形AOF面積，得出ab=4，再利用勾股定理列出關(guān)于a與b的方程，的求出方程的解得到a與b的值，即可確定出各點的坐標(biāo)；
（3）分三種情況考慮：以O(shè)為圓心，OE長為半徑畫弧，與x軸交于兩點，此時△POE為等腰三角形；以E為圓心，OE長為半徑畫弧，與x軸交于一點P；做出線段OE的垂直平分線，交x軸于點P，分別求出P坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）矩形AOCB長為a，寬為b，
則有AF=

1

2

b，OA=a，CE=

1

2

a，OC=b，
∴S_△AOF=

1

2

AF•OA=

1

4

ab，S_△COE=

1

2

CE•OC=

1

4

ab，
∴S_{四邊形BEOF}=ab-

1

4

ab-

1

4

ab=

1

2

ab，
∴

S△AOF

S四邊形BEOF

=

1 4 ab

1 2 ab

=

1

2

，
∵S_{四邊形BEOF}=2，
∴S_△AOF=1，即

1

2

|k|=1，
∵反比例函數(shù)圖象位于第一象限，
∴k=2，
則反比例解析式為y=

2

x

；

（2）由k=2，得到S_△AOF=

1

2

AF•OA=

1

4

ab=1，即ab=4①，
在Rt△COE中，根據(jù)勾股定理得：OC²+CE²=OE²，即b²+

1

4

a²=5②，
聯(lián)立①②解得：a=b=2或a=4，b=1，
當(dāng)a=b=2時，E（1，2），F(xiàn)（2，1），B（2，2）；
當(dāng)a=4，b=1時，E（2，1），F(xiàn)（4，

1

2

），B（4，1）；
（3）當(dāng)a=b=2時，
以O(shè)為圓心，OE長為半徑畫弧，與x軸交于兩點，此時△POE為等腰三角形，P坐標(biāo)為（

5

，0）；（-

5

，0）；
以E為圓心，OE長為半徑畫弧，與x軸交于一點，此時EP=EO=

5

，P坐標(biāo)為（2，0）；
做出線段OE的垂直平分線，交x軸于點P，此時P（2.5，0）；
當(dāng)a=4，b=1時，
以O(shè)為圓心，OE長為半徑畫弧，與x軸交于兩點，此時△POE為等腰三角形，P坐標(biāo)為（

5

，0）；（-

5

，0）；
以E為圓心，OE長為半徑畫弧，與x軸交于一點，此時EP=EO=

5

，P坐標(biāo)為（4，0）；
做出線段OE的垂直平分線，交x軸于點P，此時P（

9

4

，0）．

點評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，反比例函數(shù)k的幾何意義，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)k的幾何意義是解本題的關(guān)鍵．