Question

19．如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=90°，AB=4，CD=3，BC=7，O為AD邊的中點(diǎn)，則點(diǎn)O到BC的距離為2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作CE⊥AB于E，OH⊥BC于H，連接OC、OB，如圖，先證明四邊形ADCE為矩形得到AE=CD=3，AD=CE，則BE=1，再利用勾股定理計(jì)算出CE=4$\sqrt{3}$，所以O(shè)D=OA=2$\sqrt{3}$，接著利用勾股定理的逆定理證明△BOC為直角三角形，∠BOC=90°，然后利用面積法計(jì)算出OH的長(zhǎng)即可．

解答 解：作CE⊥AB于E，OH⊥BC于H，連接OC、OB，如圖，
∵AB∥DC，
∴∠D=180°-∠A=90°，
而CE⊥AB，
∴四邊形ADCE為矩形，
∴AE=CD=3，AD=CE，
∴BE=AB-AE=4-3=1，
在Rt△BCE中，CE=$\sqrt{B{C}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}-{1}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴AB=4$\sqrt{3}$，
∵O為AD邊的中點(diǎn)，
∴OD=OA=2$\sqrt{3}$，
在Rt△ODC中，OC²=OD²+CD²=（2$\sqrt{3}$）²+3²=21，
在Rt△OAB中，OB²=OA²+AB²=（2$\sqrt{3}$）²+4²=28，
∴OC²+OB²=49=BC²，
∴△BOC為直角三角形，∠BOC=90°，
∵$\frac{1}{2}$OH•BC=$\frac{1}{2}$•OC•OB，
∴OH=$\frac{\sqrt{21}•\sqrt{28}}{7}$=2$\sqrt{3}$，
即點(diǎn)O到BC的距離為2$\sqrt{3}$．
故答案為2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了梯形：一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形．會(huì)利用三角形全等的知識(shí)證明角和線(xiàn)段相等；熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．