Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，已知點(diǎn)A（0，6）、點(diǎn)B（8，0），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O開(kāi)始在線段OA上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A開(kāi)始在線段AB上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求直線AB的解析式；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△ABO相似？
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ的面積為

32

5

個(gè)平方單位？

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題

分析：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），解得k，b即可；
（2）由AO=6，BO=8得AB=10，①當(dāng)∠APQ=∠AOB時(shí)，△APQ∽△AOB利用其對(duì)應(yīng)邊成比例解t．②當(dāng)∠AQP=∠AOB時(shí)，△AQP∽△AOB利用其對(duì)應(yīng)邊成比例解得t．
（3）（3）過(guò)點(diǎn)Q作QE垂直AO于點(diǎn)E．在Rt△AEQ中，QE=AQ•sin∠BAO=

1

2

（6-t）•

8t

5

即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
由題意，得

b=6 8k+b=0

，
解得

k=- 3 4 b=6

，
所以，直線AB的解析式為y=-

3

4

x+6；

（2）∵AO=6，BO=8，
∴AB=10，
∴AP=6-t，AQ=2t，
①當(dāng)∠APQ=∠AOB時(shí)，△APQ∽△AOB．
所以

AP

OA

=

AQ

AB

，即

6-t

6

=

2t

10

，解得t=3（秒），
②當(dāng)∠AQP=∠AOB時(shí)，△AQP∽△AOB．
∴

AQ

OA

=

AP

AB

，即

2t

6

=

6-t

10

，解得t=

9

5

（秒）；
∴當(dāng)t為3秒或

9

5

秒時(shí)，△APQ與△AOB相似；


（3）過(guò)點(diǎn)Q作QE垂直AO于點(diǎn)E．
在Rt△AOB中，sin∠BAO=

OB

AB

=

4

5

，
在Rt△AEQ中，QE=AQ•sin∠BAO=2t•

4

5

=

8t

5

，
S_△APQ=

1

2

AP•QE=

1

2

（6-t）•

8t

5

，
=-

4

5

t²+

24t

5

=

32

5

，
解得t=3+

15

（秒）或t=3-

15

（秒）．
∴當(dāng)t=3+

15

秒或3-

15

秒時(shí)，△APQ的面積為

32

5

個(gè)平方單位

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一次函數(shù)綜合題，根據(jù)題意作出輔助線．構(gòu)造出相似三角形是解答此題的關(guān)鍵．