Question

13．已知二次函數(shù)y=-x²-mx-m+1（x為自變量）
（1）若該函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍；
（2）在（1）的情況下，設(shè)函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為AB，且A點(diǎn)在B點(diǎn)的左邊，兩點(diǎn)中至少有一點(diǎn)在原點(diǎn)的右邊，又設(shè)函數(shù)圖象與y軸交于點(diǎn)C，若以A．B．C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的△ABC為等腰三角形，求m的值并寫出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)y=-x²-mx-m+1與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，利用根的判別式△＞0，可以求出m的取值范圍；
（2）令y=0，解-x²-mx-m+1=0可求得函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意確定A，B點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)A為（-1，0），點(diǎn)B為（1-m，0）；再令x=0，求出點(diǎn)C為（0，1-m），以A．B．C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的△ABC為等腰三角形共有三種情況：①CA=CB，②AB=AC，③BA=BC．①中根據(jù)題意可知A，B關(guān)于y軸對(duì)稱，得到-1+（1-m）=0，解得m=0，從而求出解析式；②，③可以根據(jù)兩點(diǎn)距離公式用含有m的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)度，再根據(jù)相等的線段作為等量關(guān)系列出關(guān)于m的方程，解方程即可求解，然后再代入原方程看是否符合題意，取得符合題意的m的值，從而求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=-x²-mx-m+1與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)
∴△=（-m）²-4×（-1）×（-m+1）=m²-4m+4=（m-2）²＞0
∴m的取值范圍為：m≠2的任何實(shí)數(shù)．
（2）令y=0，則-x²-mx-m+1=0
解得：x₁=1-m，x₂=-1
∴點(diǎn)A為（-1，0），點(diǎn)B為（1-m，0）
∵A點(diǎn)在B點(diǎn)的左邊，兩點(diǎn)中至少有一點(diǎn)在原點(diǎn)的右邊
∴A點(diǎn)中原點(diǎn)左側(cè)，B點(diǎn)中原點(diǎn)右側(cè)
又∵函數(shù)圖象與y軸交于點(diǎn)C，即點(diǎn)C中y軸上，且點(diǎn)C為（0，1-m）
當(dāng)以A．B．C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的△ABC為等腰三角形時(shí)分情況討論：
①若CA=CB，即A，B關(guān)于y軸對(duì)稱，那么-1+（1-m）=0，解得m=0；二次函數(shù)y=-x²+1
②若AB=AC，則AB²=AC²，
∵AC²=1+（1-m）²，AB²=（1-m+1）²
∴1+（1-m）²=（1-m+1）²，解得m=1，此時(shí)點(diǎn)B為（0，0），不合題意，故舍去；
③若BA=BC，則BA=$\sqrt{2}$（1-m），BC=2-m，則$\sqrt{2}$（1-m）=2-m，解得：m=-$\sqrt{2}$
二次函數(shù)y=-x²$+\sqrt{2}$x$+\sqrt{2}$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線與x軸交點(diǎn)與一元二次方程之間的關(guān)系．函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)情況可以由△=b²-4ac來判斷，同時(shí)也可以根據(jù)△值的范圍來求出函數(shù)解析式中字母系數(shù)的取值范圍．本題第2問中給出的條件△ABC為等腰三角形，并沒有說明相等的線段，應(yīng)該分三種情況進(jìn)行討論，再結(jié)合題目中的條件進(jìn)行值的取舍．