Question

①半徑為13cm圓內(nèi)的兩條平行弦分別為10cm和24cm長，則兩條平行弦之間距離是

 

；
②△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB=AC，BC=20cm，點(diǎn)O到BC的距離為6cm，則△ABC的面積是

 

；
③兩個(gè)圓相切，其中一個(gè)圓的半徑為5，兩圓的圓心距為2，則另一個(gè)圓的半徑為

 

；
④若O為△ABC的外心，∠C=n°，用n°表示∠AOB為

 

；
⑤OA、OB是⊙O的半徑，且互相垂直，延長OB到C，使BC=OB，CD是⊙O的切線，D為切點(diǎn)，則∠OAD的度數(shù)為

 

；
⑥已知兩圓的半徑分別為4和5，公共弦長6，則兩圓的圓距為

 

；
⑦若一個(gè)點(diǎn)到圓的最長距離為a，最短距離為b，則此圓的半徑

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：分類討論

分析：①可分AB和CD在O的兩旁和同旁兩種情況討論，然后運(yùn)用垂徑定理和勾股定理就可解決問題；
②可分圓心O在△ABC的外部和內(nèi)部?jī)煞N情況討論，然后運(yùn)用垂徑定理和勾股定理就可解決問題；
③由于兩圓的圓心距小于一個(gè)圓的半徑，因此兩圓內(nèi)切，可分所求圓的半徑大于5和小于5兩種情況討論，然后運(yùn)用切線的性質(zhì)就可解決問題；
④可分點(diǎn)C與點(diǎn)O在AB的同側(cè)和異側(cè)兩種情況討論，然后運(yùn)用圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)就可解決問題；
⑤可分點(diǎn)A與點(diǎn)D在直線OC的同側(cè)和異側(cè)兩種情況討論，然后運(yùn)用切線的性質(zhì)和特殊三角函數(shù)值就可解決問題；
⑥可分兩圓的圓心在公共弦的兩側(cè)和同側(cè)兩種情況討論，然后運(yùn)用相交兩圓的性質(zhì)和勾股定理即可解決問題；
⑦只需可分點(diǎn)在圓內(nèi)和圓外兩種情況討論即可解決問題．

解答：解：①若AB和CD在O的兩旁，如圖①a，

過O作MN⊥AB于M，交CD于N，連接OB、OD，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
∴BM=

1

2

AB=12cm，DN=

1

2

CD=5cm，
∵OB=OD=13cm，
∴OM=

OB2-BM2

=5cm，
同理ON=12cm，
∴MN=OM+ON=5+12=17（cm），
若AB和CD在O的同旁，如圖①b，

同理可得：MN=12-5=7（cm）．
故答案為：17cm或7cm．

②若圓心O在△ABC的外部，連接OA、OB，如圖②a，

則有OA⊥BC，BD=DC=

1

2

BC=10，
∴OB²=BD²+OD²=100+36=136，
∴OB=2

34

，
∴AD=OA-OD=OB-OD=2

34

-6，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AD=

1

2

×20×（2

34

-6）=20

34

-60（cm²）．
若圓心O在△ABC的內(nèi)部，連接OA并延長交BC于D，連接OB，如圖②b，

則有AD⊥BC，BD=DC=

1

2

BC=10，
同理可得：S_△ABC=

1

2

BC•AD=

1

2

×20×（2

34

+6）=20

34

+60（cm²）．
故答案為：（20

34

-60）cm²或（20

34

+60）cm²．

③不妨設(shè)⊙O₂的半徑為5，由題可得O₁O₂=2．
∵O₁O₂＜5，∴兩個(gè)圓相內(nèi)切．
若⊙O₂的半徑比⊙O₁的半徑大，連接AO₂，如圖③a，

則AO₂必過點(diǎn)O₁．
∴AO₁=AO₂-O₁O₂=5-2=3．
若⊙O₂的半徑比⊙O₁的半徑小，連接AO₁，如圖③b，

則AO₁必過點(diǎn)O₂，
同理可得：AO₁=AO₂+O₁O₂=5+2=7．
故答案為：3或7．

④若點(diǎn)C與點(diǎn)O在AB的同側(cè)，如圖④a，

則∠AOB=2∠C=2n°．
若點(diǎn)C與點(diǎn)O在AB的異側(cè)，如圖④b，

在弦AB所對(duì)的優(yōu)弧上取一點(diǎn)D，連接DA、DB，
則有∠C+∠D=180°，∠AOB=2∠D．
∴∠AOB=2（180°-∠C）=2（180°-n°）=360°-2n°．
故答案為：2n°或360°-2n°．

⑤若點(diǎn)A與點(diǎn)D在直線OC的同側(cè)，連接OD，如圖⑤a，

∵CD與⊙O相切于D，∴OD⊥DC即∠ODC=90°．
∵BC=OB，OD=OB，
∴OC=2OD，
∴cos∠DOC=

OD

OC

=

1

2

，
∴∠DOC=60°．
∵OA⊥OB即∠AOB=90°，
∴∠AOD=30°．
∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA=

180°-30°

2

=75°．
若點(diǎn)A與點(diǎn)D在直線OC的異側(cè)，連接OD，如圖⑤b，

同理可得∠OAD=15°．
故答案為：75°或15°．

⑥不妨設(shè)⊙O₁的半徑為5，⊙O₂的半徑為4．
若圓心O₁與圓心O₂在公共弦AB的兩側(cè)，連接AO₁、AO₂，如圖⑥a，

則有O₁O₂⊥AB，AH=BH=

1

2

AB=3．
在Rt△AHO₁中，
O₁H=

O1A2-AH2

=

52-32

=4．
同理可得O₂H=

7

，
∴O₁O₂=O₁H+O₂H=4+

7

．
若圓心O₁與圓心O₂在公共弦AB的同側(cè)，連接AO₁、AO₂，如圖⑥b，

同理可得：O₁O₂=O₁H-O₂H=4-

7

．
故答案為：4+

7

或4-

7

．

⑦若點(diǎn)P在圓外，連接PO交⊙O于點(diǎn)A，延長PO與⊙O交于點(diǎn)B，如圖⑦a，

則PB=a，PA=b，
∴AB=PB-PA=a-b，
∴OA=

1

2

AB=

a-b

2

．
若點(diǎn)P在圓內(nèi)，延長OP交⊙O于點(diǎn)A，延長PO與⊙O交于點(diǎn)B，如圖⑦b，

同理可得：OA=

1

2

AB=

a+b

2

．
故答案為：

a-b

2

或

a+b

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題組屬于圓中的多解問題，考查了垂徑定理、圓周角定理、圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、相交兩圓的性質(zhì)、相切兩圓的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，而正確進(jìn)行分類是解決此類題的關(guān)鍵．